Una condición de equivalencia sobre subconjuntos abiertos y en cadena

Question

Dejemos que $U $ sea un subconjunto abierto de un espacio topológico $X $ son los siguientes equivalentes:

1) $U$ es denso;

2) Cada cadena $A_1\subseteq A_2\subseteq ... $ de subconjuntos abiertos de $X $ se detiene si la cadena $A_1 \cap U \subseteq A_2 \cap U \subseteq ... $ se detiene (no nessesarilly en el mismo paso).

Si no es cierto, ¿qué condiciones se pueden sustituir por 1)?

Answer 1

No es equivalente.
Como contraejemplo, dejemos que $X = \{ u_n : n \in \mathbb{N} \} \cup \{v\}$ y que la topología sea generada por la familia de conjuntos (base) $$\{u_1\}, \{u_1,u_2\}, \{u_1,u_2,u_3\}, \ldots, \{u_1,v\}.$$ Ahora, dejemos que $U = \{u_1,v\}$ . Está claro que $U$ intersecta todo conjunto abierto no vacío, y por tanto es denso.
Dejemos que $A_n = \{u_1, \ldots, a_n\}$ . Entonces $A_n \cap U = A_1$ para que la cadena $$A_1 \cap U \subseteq A_2 \cap U \subseteq \cdots$$ paradas.
Sin embargo, la cadena $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots$ no se detiene, al menos si la detención de la cadena es lo que afirma E.Rostami en su comentario.

Answer 2

Un espacio se llama Noetheriano cuando toda secuencia decreciente de conjuntos cerrados acaba por detenerse. Esta es la misma condición (tomar complementos) que su condición de cadena para los conjuntos abiertos. Su condición 2 dice que $X$ es noetheriano si $U$ es noetheriano en la topología del subespacio. Pero $X$ Lo noetheriano ya implica que todos los subespacios son noetherianos (equivale a hereditariamente compacto).