Demostrar que $T(V)$ es de dimensión finita?

Question

Dejemos que $T: V\rightarrow V$ sea la transformación lineal definida como sigue: Si $f$ está en $T$ , $g=T(f)$ es: $$ g(x) = \int_{-\pi}^{\pi} (1+\cos(x-t))f(t) dt $$ Prueba $T(V)$ es de dimensión finita.

editar : Olvidé poner la definición de $V$ el espacio lineal de todas las funciones reales continuas en el intervalo $[-\pi,\pi]$ . editar 2 Maldita sea, pensé que el problema estaba escrito con una barra; reeditado para corregir el integrando.

Answer 1

Tenemos $$ T(f)(x)=\int_{-\pi}^\pi(1+\cos(x-t))f(t)dt=\int_{-\pi}^\pi(1+\cos x\cos t+\sin x\sin t)f(t)dt $$ $$ =\int_{-\pi}^\pi f(t)dt+\left(\int_{-\pi}^\pi\cos tf(t)dt\right)\cos x+\left(\int_{-\pi}^\pi\sin tf(t)dt\right)\sin x $$ $$ =L_1(f)1+L_2(f)\cos x+L_3(f)\sin x $$ donde $L_1, L_2, L_3$ son funcionales lineales. Así que $T(f)$ pertenece al ámbito de las funciones $1, \cos $ y $\sin $ .

Answer 2

Otra forma de ver esto es observar que $g$ actuando sobre $L^2[-\pi, \pi]$ es una suma de dos operadores lineales $g = g_1 + g_2$ Ambos tienen $1$ -rangos dimensionales. Así, el rango de $g$ tiene dimensión como máximo (igual, en este caso) $2$ .

El operador $g_1$ es la integración contra $dx$ es un funcional lineal que calcula el $0$ -coeficiente de Fourier. $g_2$ es la convolución con $\cos x$ que, por la transformada de Fourier, es un $1$ -en el subespacio generado por $\cos x$ .

$g_1$ también puede verse como una convolución (es decir, una proyección en base Fourier). Así que su operador es una proyección ortogonal sobre el $2$ -subespacio dimensional generado por $\{1, \cos x\}$ (posiblemente hasta alguna constante de escala que haga que la transformada de Fourier sea unitaria).