Demostrar existencia de diffeomorfismo local

Question

Considere la configuración desde aquí: ¿estos campos de vector abarcan una distribución integrable?

Para cualquier par de puntos$p, q \in U$, demuestre que hay un difeomorfismo local$F: U(p) \to U(q)$, tal que$F_*(X_i) = X_i$ para$1 \le i \le n$.

Traté de resolverlo pero no pude encontrar la manera de comenzar. Cualquier sugerencia sería apreciada.

Answer 1

Vamos $\overline{X}_i$, $\overline{U}$ como en la instalación de los enlaces de la pregunta. La distribución de $E$ es integrable por el vinculado cuestión, de modo que por el Teorema de Frobenius, existe un inyectiva inmerso submanifold $M \subseteq U \times \overline{U}$ cerca de $(p, q)$ tal que $T_{(a, b)}M = E_{(a, b)}$ todos los $(a, b) \in M$. Deje $\pi:U \times \overline{U} \to U$ ser el mapa de proyección. A continuación, $d\pi|_{(p, q)}$ envía $Y_i|_{(p, q)} = \left(X_i + \overline{X}_i\right)|_{(p, q)} = \left(X_i, \overline{X}_i\right)|_{p, q}$$X_i|_p$. El $Y_i|_{(p, q)}$'s y $X_i|_p$'s son linealmente independientes, lo que significa que el primer $n$ columnas de $\text{Jac}(\pi)$ formar un nonsingular $n \times n$ matriz. Por el Teorema de la Función Implícita, existe liso $F: U(p) \to U(q)$ tal que $M = r(F)$. Tenemos $F_*(X_i) = \overline{X}_i$ desde $X_i + \overline{X}_i = Y_i$ es tangente a $M = r(F)$. Por lo $F_*$ envía linealmente independientes $X_i|_p$'s de a linealmente independientes $\overline{X}_i|_p$'s, lo que significa que es nonsingular. Por el Teorema de la Función Inversa, $f$ es un local diffeomorphism.