¿Cual es la diferencia entre

Question

Mi comprensión es que $\psi(\vec{r}, t)$ y $|\psi(\vec r,t)\rangle$ son lo mismo pero uno expresada como una función de onda y el otro expresa como un vector en el espacio de Hilbert. ¿Es esto cierto? ¿O hay una diferencia más profunda entre las dos notaciones?

Answer 1

$\psi (\vec{r},t) $ es como dije, sólo una manera de expresar el % de vector $|\psi (t)\rangle $en el espacio de la posición del' ', expresado matemáticamente como está escrita en los comentarios:

$$ \psi (\vec{r},t) = \langle \vec{r} | \psi(t) \rangle = \int \delta(r'-r)\psi(t) d^3 r $$

Answer 2

Velut Luna nos da la respuesta principal. Uno puede ver esto porque tenemos la probabilidad expectativa $1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle$ y con la terminación suma $\mathbb I~=~\int d^3r|\vec r\rangle\langle \vec r|$ entonces tenemos $$ 1 ~ = ~\langle\psi (t) | \rangle~=~\langle\psi \psi (t) (t) | \left (\int d ^ 3r | \vec r\rangle\langle\vec r | \right) | \psi (t) \rangle~=~\int d ^ 3r\ langle\psi(t) | \vec r\rangle\langle\vec r | \rangle \psi (t). $$ En la onda de la función forma tenemos unidad de probabilidad como $$ \int d ^ 3r\psi ^ * (\vec r, t) \psi (\vec r, t). $$ la identificación es obvia.

Answer 3

Es conveniente pensar como un vector con componentes $\vert\psi\rangle$ para varios valores de $\langle x\vert\psi\rangle=\psi(x)$ $x$. Si usted imagina valores discretos más que continuos de $x$, entonces el vector $\vert\psi\rangle$ el vector columna infinita $$ \left(\begin{array}{c} \vdots \ \psi(x{n-2})\ \psi(x{n-1})\ \psi(x{n})\ \psi(x{n+1})\ \psi(x{n+2})\ \vdots \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vdots \ \langle x{n-2}\vert \psi\rangle \ \langle x{n-1}\vert \psi\rangle \ \langle x{n}\vert \psi\rangle \ \langle x{n+1}\vert \psi\rangle \ \langle x{n+2}\vert \psi\rangle \ \vdots \end{array}\right) $$ obtiene descomponiendo el vector $\vert\psi\rangle$ sobre la base de los Estados ${\ldots, \vert x{n-2}\rangle,\vert x{n-1}\rangle,\vert x{n}\rangle,\vert x{n+1}\rangle,\vert x_{n+2}\rangle\ldots}$ =

Answer 4

Hay una distinción que es, en mi opinión, muy sutil y profunda acerca de las dos notas diferentes. La segunda es mucho más versátil que la primera, y universalmente utilizable en la mecánica cuántica (aunque la primera no lo es). Para aclarar, los dos notaciones:

• Un complejo de valores de la función $\psi(\cdot)$, con un poco de espacio - por ejemplo, $\mathbb{R}^d$ o $\{\uparrow,\downarrow\} \times \mathbb{R}^d$ - como de dominio.
• Un vector en un espacio de Hilbert $\psi\in\mathscr{H}$ (o $\lvert \psi\rangle$ si usted lo prefiere, voy a utilizar el anterior).

La explicación de por qué el segundo es más universal va como sigue. Sabemos que cualquier "razonable" física cuántica sistema puede ser descrito matemáticamente por un, así llamado, no abelian C*-álgebra, que representa el conjunto de (no conmutativa) observables del sistema. A su vez, el C*-álgebra puede ser representado por un conjunto de transformaciones lineales en algún espacio de Hilbert.

Ahora, la C* álgebra de $N$ no-relativista cuántica de partículas en $d$ dimensiones del espacio tiene una única representación irreducible hasta unitaria de equivalencia (sin entrar en detalles, irreductible repr. son relevantes). Tal representación es el álgebra de la (limitada) de los operadores en el espacio de $L^2(\mathbb{R}^{dN})$, y el uno mismo-adjoint (unbounded) operadores de $(x_1,\dotsc,x_N)$ $(-i\nabla_1,\dotsc,-i\nabla_N)$ representan la posición y el impulso de los operadores de cada partícula. Por lo tanto, es en este caso natural para escribir un elemento del espacio de Hilbert de no relativstic la mecánica cuántica como (ola)de la función de $\psi(x_1,\dotsc,x_N)\in L^2(\mathbb{R}^{dN})$.

El último, sin embargo, deja de ser cierto para relativista de la mecánica cuántica: hay infinitamente muchos irreductible no equivalentes representaciones de las álgebras de campo cuántico observables, y, en particular, no existe una única descripción natural, en términos de una función de onda(al). En este caso, por tanto, la notación funcional $\psi(\cdot)$, incluso en representaciones donde es viable, sería bastante ambiguo y no como "universal" como es en la no-relativstic la mecánica cuántica.

En conclusión, mientras no relativstic la mecánica cuántica, la distinción es casi sólo estética, mientras que para los más generales (relativista) teorías esencialmente, debe abandonar la idea de una "función de onda" en conjunto y considerar las representaciones más abstractas de la canónica de relaciones de conmutación, por lo que la notación $\psi(\cdot)$ podría no tener sentido (mientras $\psi$ sentido todavía).

Por último, permítanme también anticipar algunos de los posibles comentarios. Es cierto que todos los separable de dimensiones infinitas de Hilbert espacios son isomorfos, pero aún no equivalentes a las representaciones de la C* álgebra en relativista de los sistemas. Dado el vacío de vectores $\Omega$ en un determinado separables representación $\mathscr{K}$, de hecho, es posible asignar a una función de onda en por ejemplo, $L^2(\mathbb{R})$, pero es imposible decir cuál es el operador de campo sería la última (y por lo que el mapa es inútil).