Comprensión de un ejemplo de un * semitroquelado * $\mathbf{Set}$

Question

En la pg. 66 de Categorías para el Trabajo Matemático, la noción de la pushout se define, junto con la noción de un "fibrado suma":

A continuación, el autor afirma:

En $\mathbf{Set}$, el pushout de $\langle f, g \rangle$ siempre existe; es distinto de la unión de $b \amalg c$ con los elementos de la $fx$ $gx$ identificados para cada una de las $x \in a$.

Alguien puede aclarar qué se entiende por este último ejemplo en $\mathbf{Set}$? ¿Cómo podemos saber que $b$ $c$ formar un discontinuo de la unión? No podía $fx = gx$ algunos $x \in a$?

Answer 1

Las operaciones de 'unión' y 'desunido de la unión' son diferentes. La unión de $A \cup B$ de los conjuntos de $A$ $B$ es el conjunto de todos los objetos que son elementos de $A$ o de los elementos de $B$. La inconexión de la unión de $A \sqcup B$, por otro lado, se basa en algún tipo de identificador que permite indicar si el elemento de vino de $A$ o de $B$. Una definición común es $$A \sqcup B = \{ (a,0) \mid a \in A \} \cup \{ (b,1) \mid b \in B \}$$ Siempre hay un surjection $A \sqcup B \to A \cup B$$(x,i) \mapsto x$; en el caso de que $A$ $B$ son distintos, este surjection es en realidad un bijection.

Por lo tanto, el pushout de $f : X \to Y$ $g : X \to Z$ puede ser tomado como el cociente de $Y \sqcup Z$ menos de equivalencia en relación con la identificación de $(f(x),0)$ $(g(x),1)$ todos los $x \in X$.

De hecho, es curioso que se debe mencionar pushouts, ya que la unión de conjuntos se puede construir como un pushout. Dado los conjuntos de $A$$B$,$A \cap B \subseteq A$$A \cap B \subseteq B$. Deje $i_A : A \cap B \to A$ $i_B : A \cap B \to B$ ser el inclusiones. A continuación, $A \cup B$ (naturalmente isomorfo a) el pushout de $i_A$$i_B$. De trabajo a través de la comprobación de este hecho sería un buen ejercicio para ayudarle a entender pushouts.

Answer 2

De hecho, esto es confuso. Primero de todos, el pushout no es distinto de la unión, es distinto de la unión con las imágenes de $a$ identificado.

He aquí un ejemplo específico, diseñado para golpear algunos "borde conceptuales casos." Supongamos que

$$a = \{1,2\}$$ $$b = \{0,1,2,3\}$$ $$c = \{0,1,2,3,4\}$$

y para$f:a\to b$$g:a \to c$,

$$f(x) = x+1$$ $$g(x) = x.$$

Vamos a llamar a la terminal de $r$ como en la primera foto. Vamos a mantener los elementos por separado añadiendo poco subíndices si ellos llegaron a $b$ o conjunto de $c$. Por lo tanto, como se ha descrito, $r$ contiene $0_b,1_b,2_b,3_b$$0_c,1_c,2_c,3_c,4_c$, pero estos no son todos distintos. En particular, se deben identificar las $f(x)$ $g(x)$ por cada $x\in a$. Esto significa en $r$ establecer$f(1)=2_b=1_c=g(1)$$f(2)=3_b=2_c=g(2)$.

Así, los elementos en $r$ son:

$$\{ 0_b,$$ $$0_c,$$ $$1_b,$$ $$2_b=1_c,$$ $$3_b=2_c,$$ $$3_c,$$ $$4_c\}$$

Answer 3

La 'Unión discontinuo' $b$ y $c$ no quiere decir el % de sistemas $b$y $c$ son necesariamente disjuntos: significa copias de $b$ y $c$ se hacen así tesis copias son disjuntos, es decir $b_1={(x,1)\mid x\in b}$ y $c_2={(x,2)\mid x\in c}$. Es los coproductos en la categoría de conjuntos (y también en la categoría de espacios topológicos).