Dada una secuencia exacta de $C^*$-álgebras $0\to J\xrightarrow{\varphi}A\xrightarrow{\pi}B\to 0$, quiero mostrar que la $$0\to C([0,1],J)\to C([0,1],A)\to C([0,1],B)\to 0$$ es exacta, con la natural inducida por los mapas.
Podemos pensar acerca de $J$ como un ideal de a$A$$B$$A/J$.
Estoy tratando de mostrar que $C([0,1], A)\xrightarrow{\Pi}C([0,1], A/J)$ es surjective.
Este argumento, que en realidad dice es que cualquier camino continuo $f: [0,1] \to A/J$ puede ser elevada a una trayectoria continua $F:[0,1]\to A$, es decir,$\pi \circ F=f$.
Puedo pensar en una solución opcional: el diagrama
$$\begin{array}
AC([0,1])\otimes A & \xrightarrow{f\otimes a\to f\otimes \pi(a)} & C([0,1])\otimes B \\
\vphantom{\\ \ \\}\Bigg\downarrow{f\otimes a \to fa} & & \vphantom{\\ \ \\}\Bigg\downarrow{f\otimes b \to fb} \\
C([0,1],A) & \xrightarrow{\Pi} & C([0,1],B)
\end{array}
$$is commutative and the vertical arrows are isomorphisms, so it's sufficient to show that $f\otimes \f\otimes \pi(una)$ es surjective.
Todo es sencillo tensores de $C([0,1])\otimes B$ están en el rango de este mapa (porque $\pi$ es surjective).
Pero la imagen de $*$ homomorphism entre el $C^*$ álgebras es cerrado, por lo que podemos concluir que es surjective.
Sin embargo, me gustaría ver más "directa" y básicas de la prueba de este hecho, sin utilizar el producto tensor de $C^*$ álgebras. Creo que la compacidad de $[0,1]$ y la definición de cociente norma $\|a+J\|=\inf\{\|a+j\| \ \ : j\in J\}$ son herramientas suficientes para resolver esta pregunta, pero no tuve éxito.
Gracias de antemano.
