¿Cuál es el residuo de $$f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^a}$$ at $x^2=\pm i $, where $0
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A pesar de $(1+z^2)^a$ no es analítica en un barrio de $i$ o $-i$, todavía podemos calcular la circular integral alrededor de cada punto que falta la rama de corte.
$\log(1+z^2)$ puede ser bien definida en un dominio de corte de manera que si un camino cerrado un círculo de $i$, que también círculos $-i$. Por ejemplo, podríamos tener una rama de corte que se conecta $i$ $-i$ o de una rama de corte que se extiende desde $i$ $\infty$y otro corte que se extiende desde $-i$$\infty$.
En cualquier dominio se puede definir entonces $(1+z^2)^{\large a}$ a través de la función exponencial. En cualquier caso, cerca de $i$, $$ |f(z)|\sim2^{\large-a}|z-i|^{\large-a} $$ En un pequeño círculo de radio $r$, la longitud de una trayectoria circular es $2\pi r$ y el valor de la función sería la $\sim2^{\large-a}r^{\large-a}$ la integral alrededor del círculo sería en la mayoría de las $\sim2^{\large-a}r^{1\large-a}\to0$ si $0\lt a\lt1$.
Por lo tanto, aunque no podemos formar un circuito cerrado alrededor de $i$ debido a los cortes de ramas, la integral alrededor del punto se desvanece como la radio va a la $0$.
Advertencia: Aunque tenemos un $0$ "residuo" a $i$$-i$, esto no puede ser extendido a cualquier útil de contorno. Para ampliar el resultado para el círculo pequeño para una mayor ruta, los caminos están generalmente conectados por dos planos que se superponen conectores dirigidos opuestamente que se cancelan el uno al otro. Aquí, los conectores tendría que seguir la rama de corte y la función no es continua en toda la rama de corte de modo que la integral no necesariamente cancelar.
Por ejemplo, considere el $f(z)=z^{1/2}$ con una rama de corte a lo largo del eje real positivo.
$\hspace{3.2cm}$
La limitación para el eje real de arriba, $f(z)\to\sqrt{x}$, el normal de la raíz cuadrada positiva.
La limitación para el eje real de abajo, $f(z)\to-\sqrt{x}$, la raíz cuadrada negativa.
Vamos a tratar de utilizar la misma construcción para mostrar que la integral a lo largo de dos contornos de ese círculo, de la misma singularidades son los mismos. El único lugar para agregar los conectores, y mantener el contorno dentro del dominio de definición de $f$, es en cada lado de la rama de corte. Sin embargo, la integral a lo largo de los conectores no cancelar; de hecho, en realidad, refuerzan.
La integral de la izquierda alrededor de un círculo de radio de $r$ es $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}r^{1/2}e^{i\theta/2}\,\mathrm{d}re^{i\theta} &=\int_0^{2\pi}r^{3/2}ie^{i3\theta/2}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\left.\frac23r^{3/2}e^{i3\theta/2}\right]_0^{2\pi}\\ &=-\frac43r^{3/2} \end{align} $$ Esto tiene sentido. Como se muestra arriba, la integral a lo largo del círculo como $r\to0$$0$. La integral a lo largo de cada uno de los conectores es $$ \int_0^r\sqrt{x}\,\mathrm{d}x=\int_r^0-\sqrt{x}\,\mathrm{d}x=\frac23r^{3/2} $$ Por lo que el total a lo largo de todos los contornos se $0$. Sin embargo, el punto es que la integral a lo largo de los círculos no es constante, ya que las integrales a lo largo de los conectores no cancelar.
