$\mathbb{G}_a$ $\mathbb{G}_m$ como subgrupos de grupos algebraicos afines

Question

¿Es cierto que cada grupo algebraico afín conectado tiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{G}_a$ o $\mathbb{G}_m$? Si por lo que, ¿por qué?

Answer 1

Creo que esto es cierto para cualquier afín algebraicas grupo de estrictamente dimensión positiva. Deje $G$ ser afín algebraica de grupo y deje $U$ ser el unipotentes radical de $G$. Si $G=U$, $G$ es un unipotentes grupo. En este caso, podemos incrustar $U\subseteq\operatorname{GL}(V)$ como un grupo de unipotentes matrices. Tomar algún elemento $u\in U$$\log(u)\ne 0$. A continuación, los morfismos \begin{align*} \lambda: \mathbb G_a &\longrightarrow U \\ t &\longmapsto \exp(tn) \end{align*} es un inyectiva grupo homomorphism, una relación inversa está dada por la restricción de $\log$ a la imagen de $\lambda$. Por lo tanto, $U$ contiene un $\mathbb G_a$. Una referencia para las declaraciones de arriba sería el libro por Tauvel & Yu, Álgebras de Lie y Algebraica de los Grupos, elemento 22.3.3.

Si $G\ne U$, $G/U$ es reductiva y contiene un máximo de toro, que contiene un $\mathbb G_m$. Esta $\mathbb G_m$ puede ser elevada a $G$ en este caso, que es en realidad en esta respuesta a una pregunta una vez tuve.