Discutir la continuidad de la función dada

Question

Deje $f(x)$ sea la función definida en el intervalo $(0,1)$ por
$f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} x& \quad \text{if %#%#% is rational}\\ 1-x& \quad \text{otherwise} \end{array} \right.$
Discutir la continuidad de la $x$ en el intervalo dado.
Por favor puede alguien explicar cómo hacer el problema con $f(x)$ método?
No sé cómo hacer esto. He visto muchas de esas preguntas que involucran a trozos funciones definidas por el que se definen sobre la base de los números racionales e irracionales, pero no soy capaz de entender cómo hacer estas. Enlaces a cualquier otro de tales problemas y el uso de otros métodos de la $\epsilon-\delta$ método también son bienvenidos.

Answer 1

La función en cuestión es de $$f(x)=\left\{\begin{matrix} x& x \in \mathbb{Q} \cap (0,1)\\ 1-x& x \notin \mathbb{Q} \cap (0,1) \end{de la matriz}\right.$$

Tenemos la primera nota de que en $x = 1/2$, la función es continua en realidad. Ahora sin ninguna pérdida de generalidad considerar $x \in (1/2,1)$.

Observe que para cualquier selección de $\delta >0$ existe $x \in (a - \delta, a + \delta)$ tal que $f(x) > 1/2$ si $x \in \mathbb{Q} \cap (a - \delta, a + \delta)$, e $f(x) < 1/2$ si $x \notin \mathbb{Q} \cap (a - \delta, a + \delta)$. Aquí $a \in (1/2, 1).$

Entonces si decir $a \in \mathbb{Q} \cap (a - \delta, a + \delta) $$x \notin \mathbb{Q} \cap (a - \delta, a + \delta) $, obtendríamos,

\begin{align} |f(x) - f(a)| &= |(1 - x) - a|\\ &= |1 - (x +a)|\\ &= |(x + a) -1|\\ &= |x -(1-a)|\\ &\geq ||x| - |1 - a|| \quad \text{recall %#%#%}\\ &\geq |1/2 - |1 - a|| \\ &=|1/2 - (1 - a)| \quad \text{recall %#%#%} \\ &=|a - 1/2|.\\ \end{align}

Por lo tanto, parece que si,$x > 1/2$, entonces el no $1 - a > 0$ hacer $\epsilon = \frac{|a - 1/2|}{2}$

Aquí es un complot para confirmar:

La línea verde es el límite y el azul de la inclusión es el barrio. Podemos ver que esta opción de $\delta >0$ falta la otra parte de la línea, excepto en $|f(x) - f(a)| < \epsilon.$ donde coinciden, pero hemos eliminado ya que fuera de nuestra consideración.

$\epsilon$

Muchos de estos Dirchlet como funciones siguen un comportamiento similar.

Answer 2

Suponga $x\neq\frac{1}{2}$. Desde $|x|>0$ existe $n_0 \in N$ tal que $|x|> \frac{1}{n_0}$. Para cada una de las $n\in N$, definamos $x_n=x-\frac{1}{{n_0}+n}$. En primer lugar, supongamos que x es un número racional, entonces no es un racional secuencia ${x_n}$ tal que ${x_n}<x$. Desde $x_n$ es racional, existe una irracional $y_n$ tal que ${x_n}<{y_n}<x$. Desde $lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x$, por squeze teorema $lim_{\to\infty}y_n=x$. Por secuenciales criterio para la continuidad de la $lim_{\to\infty}f(y_n)=lim_{\to\infty}1-y_n=1-x\neq x=f(x)$. Por lo tanto, $f$ es discontinua en todos los números racionales entre $0$ $1$ excluyendo $1/2$. Si $x$ es un número irracional, repetir el mismo proceso.