#% Integrable es solicitando consejos para mostrar alguna función que localmente es $L^p$% #%.

Question

Supongamos $\int _a^b\vert f\vert^p<\infty$ algunos $p\ge 1$, y para todos los $a,b\in \mathbb{R}$, y para algunos $a>p-1$ $$\int_{2\vert y-x\vert \le x}\vert f(y)\vert ^pdy\le \vert x\vert^{-a}$$ when $\vert x \vert \ge 1$. I'd like a hint on how to show $f\en L^1(\mathbb{R}).$

La región que se describen en los límites de la integral es

Reescribir la integral como $\int_{2\vert y-x\vert \le x}\vert f(y)\vert ^pdy=\int_{-2x}^{-x/2}\vert f \vert^p + \int_{x/2}^{2x}\vert f\vert^p$ pero no estoy seguro de lo que se requiere para comenzar a describir $\int \vert f \vert$.

La mayoría de los problemas que he visto en $L^p$ espacios requieren del Titular de la desigualdad, pero aquí no estoy incluso teniendo en cuenta que el $f\in L^p$. Tengo una sugerencia de que cualquier persona con una idea en esto?

Answer 1

$$ \int_{-\infty}^\infty|f(y)\,dy=\int_{-1}^1|f(y)|\,dy+\sum_{k=0}^\infty\int_{3^k}^{3^{k+1}}|f(y)|\,dy+\sum_{k=0}^\infty\int_{-3^k}^{-3^{k+1}}|f(y)|\,dy. $$ Para la primera integral $$ \int_{-1}^1|f(y)|\,dy\le\Bigl(\int_{-1}^1|f(y)|^p\,dy\Bigr)^{1/p}2^{1-1/p}<\infty. $$ Voy a la estimación de la primera suma, el otro ser similar. Tenemos $$ [3^k,3^{k+1}]=\{y:2\,|y-2\cdot3^k|\le2\cdot3^k\}. $$ Así $$ \int_{3^k}^{3^{k+1}}|f(y)|\,dy\le\Bigl(\int_{3^k}^{3^{k+1}}|f(y)|^p\,dy\Bigr)^{1/p}(2\cdot3^k)^{1-1/p}\le C\,3^{-\bigl(\tfrac {+1}{p}-1\bigr)k}. $$ Desde $a>p-1$ tenemos $(a+1)/p-1>0$ y la suma converge.