Mapeo biholomórfico especial desde $\mathbb{C} \setminus \{z : z \le 0\}$ hasta el disco unitario

Question

Estaba mirando una publicación anterior (Una función holomorfa acotada).

Estoy haciendo esta pregunta en una publicación separada, porque no quería interrumpir el flujo de los comentarios siguientes a la respuesta con lo que probablemente sea un malentendido de mi parte.

Hubo un argumento que parecía implicar el uso de un mapa biholomorfo especial que lleva la región del plano con una hendidura $\Omega = \mathbb{C} \setminus \{z : z \le 0\}$ al disco unidad $\Delta$ de una manera que permitía componerlo con una función par en el disco, para producir una función continua en todo $\mathbb{C}$.

Mi pregunta es: ¿Existe un mapa biholomorfo $f:\Delta \to \Omega$ con $\lim \limits _{z \to a} f(z) = \lim \limits _{z \to a} f(-z)$ para todo $|a| = 1$? ¿Existe un mapa biholomorfo $F:\Omega \to \Delta$ con $\lim \limits _{t \to 0} F(x + it) = - \lim \limits _{t \to 0} F(x - it)$ cuando $x \le 0$?

¡Gracias de antemano por cualquier pensamiento!

Answer 1

Ni tal $f$ ni tal $F$ existe.

En primer lugar, note que existe un mapa biholomórfico $$f_0:\Delta\to\Omega,\quad z\mapsto\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^2.$$

En segundo lugar, vamos a demostrar que tal $f$ no existe. Dado un mapa biholomórfico $f:\Delta\to\Omega$, $f_0^{-1}\circ f$ es un automorfismo del disco unidad, es decir, $f=f_0\circ\varphi_{w,\theta}$ para algún $w\in\Delta$ y $\theta\in\Bbb R$, donde

$$\varphi_{w,\theta}(z)=e^{i\theta}\frac{z-w}{1-\bar{w}z}.$$

Observe que tanto $f_0$ como $\varphi_{w,\theta}$ son mapas holomórficos de $\widehat{\Bbb C}:=\Bbb C\cup\{\infty\}$ en sí mismo, por lo que $f$ también es un mapa holomórfico de $\widehat{\Bbb C}$ en sí mismo. Luego, la suposición $\lim \limits_{z \to a} f(z) = \lim \limits_{z \to a} f(-z)$ cuando $|a| = 1$ es simplemente $f(a)=f(-a)$ cuando $|a| = 1$. Además, para $a\in\widehat{\Bbb C}$, $$f(a)=\infty\iff a=\varphi_{w,\theta}^{-1}(1)\Rightarrow |a|=1.$$ Para este $a$, $|a|=1$ y $f(a)=\infty$, pero $-a\ne a$, por lo tanto $f(-a)\ne\infty$, es decir, tal $f$ no existe.

Finalmente, vamos a demostrar que tal $F$ no existe. Dado un mapa biholomórfico $F:\Omega\to\Delta$, $f:=F^{-1}:\Delta\to\Omega$ también es biholomórfico. A partir de la discusión sobre $f$ en el último párrafo sabemos que $f$ puede expresarse como $f=f_0\circ\varphi_{w,\theta}$. Denotemos $g=\frac{1+\varphi_{w,\theta}}{1-\varphi_{w,\theta}}$. Entonces $f=g^2$ y por lo tanto $g^{-1}(z)=F(z^2)$, así que cuando $x\le 0$, $$\lim_{t\to 0^+}F(x\pm it)= g^{-1}(\pm i|x|^{\frac{1}{2}}).$$ Como resultado, si $F$ satisface $\lim\limits_{t\to 0^+} F(x+it) = - \lim\limits_{t \to 0^+} F(x-it)$ cuando $x \le 0$, entonces $g$ satisface $g^{-1}(-iy)=-g^{-1}(iy)$ cuando $y\in\Bbb R$. Al dejar $y\to\infty$ y notando que $g$ es una transformación lineal fraccional, obtenemos $$g^{-1}(\infty)=-g^{-1}(\infty)\Rightarrow g^{-1}(\infty)=0.$$ Sin embargo, $$g^{-1}(\infty)=\varphi_{w,\theta}^{-1}(1)\Rightarrow |g^{-1}(\infty)|=1,$$ una contradicción. Por lo tanto, tal $F$ no existe.