Sí y no. Podemos ver algunos ejemplos:
$$e^3=e^x\implies 3=x$$
esto es cierto porque las $e^x$ es una función.
$$2^2=x^2 \implies x=2$$
es que no es cierto, porque $x^2$ no es uno a uno.
Para la aplicación de las funciones puede cambiar ciertos aspectos de las ecuaciones. La solución original que queda en alguna parte, pero a veces extra soluciones pueden pop-up, o a intervalos que no contienen la solución no es válida. En tu ejemplo:
$$\frac 1 x=5 \implies 5x=1$$
es cierto. La solución es claramente $\frac 1 5$. Sin embargo,
$$\frac 1 x=0 \implies 0x=1$$
claramente no tiene soluciones (ya que la implicación es una falsedad), y es la razón por la que la primera ecuación es de más de $\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Lo que estamos diciendo es que las ecuaciones en abstracto no siempre funcionan en los mismos números, pero si la solución existe en el primer caso, en el segundo también.