Supongamos que tengo una ecuación$1/x = 5$, entonces ¿es lo mismo que una ecuación$5x=1$?

Question

Esto me está dando dolor de cabeza.

Supongamos que tengo una ecuación$$\frac{1}{x}=5

Entonces esta ecuación es lo mismo que$$1=5x\quad ?

Ahora el dominio de$x$ en la primera ecuación es$\mathbb{R}\setminus \{0\}$, sin embargo, el dominio de$x$ en la segunda ecuación es el$\mathbb{R}$% completo.

¿Los términos de reorganización cambian el significado (no sé la palabra correcta aquí) de las ecuaciones?

Answer 1

Sí y no. Podemos ver algunos ejemplos: $$e^3=e^x\implies 3=x$$

esto es cierto porque las $e^x$ es una función. $$2^2=x^2 \implies x=2$$

es que no es cierto, porque $x^2$ no es uno a uno.

Para la aplicación de las funciones puede cambiar ciertos aspectos de las ecuaciones. La solución original que queda en alguna parte, pero a veces extra soluciones pueden pop-up, o a intervalos que no contienen la solución no es válida. En tu ejemplo:

$$\frac 1 x=5 \implies 5x=1$$

es cierto. La solución es claramente $\frac 1 5$. Sin embargo,

$$\frac 1 x=0 \implies 0x=1$$

claramente no tiene soluciones (ya que la implicación es una falsedad), y es la razón por la que la primera ecuación es de más de $\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Lo que estamos diciendo es que las ecuaciones en abstracto no siempre funcionan en los mismos números, pero si la solución existe en el primer caso, en el segundo también.