En la convexidad de una forma particular de integrales

Question

EDIT: he hecho algunos críticos correcciones a continuación.

Deje $\mathcal{H}\colon\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}+c=0$ ser un hypeplane en $\mathbb{R}^n$. También, vamos a $g\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}_+$, ser un no-negativa, con un valor real de la función. Me gustaría decidir sobre la convexidad de la función de $f\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dado por $$ f(\mathbf{a},b)=\int_{\Omega}\! (\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+b)g(\mathbf{x}) \,\mathrm{d}\mathbf{x}, $$ donde $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$, $b\in\mathbb{R}$, y $\Omega$ es la mitad del espacio definido por $\mathcal{H}$$\Omega=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\rvert\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}+c\geq0\}$.

Lo que he pensado hasta ahora, es expresar la integral como una suma (si tal cosa es posible) y utilizar la propiedad de la affine (y, en consecuencia, convexo) cantidad $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+b)\cdot k$ donde $k\in\mathbb{R}$. Aunque, no estoy seguro del todo que esto va a funcionar. Además, no estoy seguro de en qué dirección debo trabajar para...

Es allí cualquier argumento que podría utilizar en su lugar?

Answer 1

No estoy seguro si se puede usar esto, pero una propiedad básica de las funciones convexas es que no negativos combinaciones de ellos son convexas. Esto se extiende a los no negativo de las integrales así. Si $h(x,t)$ es convexa en a $x$ $g$ es no negativa sobre el dominio $\Omega$, y $$ f(x) = \int_\Omega h(x,t)g(t)dt $$ a continuación, $f$ es convexa.

Esto es una consecuencia de la definición de la convexidad y algunas propiedades básicas de las integrales:

$$ \begin{aligned} f(\theta x + (1-\theta) y) &= \int_\Omega h(\theta x + (1-\theta) y,t)g(t)dt \\ &\le \int_\Omega (\theta h(x,t) + (1-\theta) h(y,t))g(t)dt \\ &= \theta \int_\Omega h(x,t) g(t)dt + (1-\theta) \int_\Omega h(y,t)g(t)dt \\ &= \theta f(x) + (1-\theta) f(y) \end{aligned} $$

Por el contrario, si puede expresar $f$ en esta forma con un nonconvex $h$, entonces usted podría ser capaz de usarlo para encontrar un ejemplo donde $f$ es nonconvex.

En tu caso concreto, parece, la función no es sólo convexo, pero afín, que se puede ver por factorización: $$ f(\mathbf{a},b)=\mathbf{a} \cdot \left(\int_{\Omega}\! \mathbf{x}g(\mathbf{x}) \,\mathrm{d}\mathbf{x}\right) + b \left(\int_{\Omega}\! g(\mathbf{x}) \,\mathrm{d}\mathbf{x}\right) $$

Answer 2

Déjame hacer mi pregunta más general y clara, tal vez de dar una respuesta, gracias a @p.s, por supuesto!

Deje $f\colon K\subseteq\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dado por $$ f(\mathbf{a},b)=\int_{\Omega}\! h(\mathbf{a},b,\mathbf{x})g(\mathbf{x}) \,\mathrm{d}\mathbf{x}, $$ donde $\Omega=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\rvert\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}+c\geq0\}$. También, vamos a $g\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}_+$ ser un no-negativo de la función.

Si $h$ es convexa con respecto a $\mathbf{a}$, $b$ sobre el dominio $\Omega$, $f$ es convexa en a $K$.

Prueba Deje $\lambda\in[0,1]$$(\mathbf{a}_1,b_1),(\mathbf{a}_2,b_2)\in K$. A continuación, $$ \begin{aligned} f(\lambda\mathbf{a}_1+(1-\lambda)\mathbf{a}_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2) &= \int_\Omega\!h(\lambda\mathbf{a}_1+(1-\lambda)\mathbf{a}_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2,\mathbf{x})g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}\mathbf{x} \\ &\le \int_\Omega\!\left[\lambda h(\mathbf{a}_1,b_1,\mathbf{x}) + (1-\lambda) h(\mathbf{a}_2,b_2,\mathbf{x})\right]g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}\mathbf{x} \\ &= \lambda \int_\Omega h(\mathbf{a}_1,b_1,\mathbf{x}) g(\mathbf{x})d\mathbf{x} + (1-\lambda) \int_\Omega\!h(\mathbf{a}_2,b_2,\mathbf{x})g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}\mathbf{x} \\ &= \lambda f(\mathbf{a}_1,b_1) + (1-\lambda) f(\mathbf{a}_2,b_2). \end{aligned} $$

Entonces, yo creo que esto se puede aplicar a mi problema, ya que la función de $h(\mathbf{a},b,\mathbf{x})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+b$ es convexa (en realidad es afín con respecto a $\mathbf{a}$, $b$) con respecto a $\mathbf{a}$, $b$.

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Un Contraejemplo?

Deje $h(\mathbf{a},b,\mathbf{x})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+b+1$, que es afín a w.r.t. $\mathbf{a},b$ sobre el dominio $\Omega=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n \mid \mathbf{a}\cdot\mathbf{x}+b+1 \geq 0\}$. También, vamos a $g$ ser la función de densidad de probabilidad de una $n$-dimensiones Gaussiano con media de $\mu\in\mathbb{R}^n$ y matriz de covarianza $\Sigma\in\mathbb{S}_{++}^n$ (simétrica positiva definida, $n\times n$). Entonces, la función de $$ f(\mathbf{a},b)=\int_{\Omega}\! h(\mathbf{a},b,\mathbf{x})g(\mathbf{x}) \,\mathrm{d}\mathbf{x} $$ se argumenta que es para ser convexa de los de arriba "Teorema", pero se evalúa de la siguiente manera

$$ f(\mathbf{a},b) = \frac{\mathbf{a}\cdot\mu+b+1}{2} \left[ 1 - \operatorname{fer}\left(-\frac{\mathbf{a}\cdot\mu+b+1}{\sqrt{2\mathbf{a}^T\Sigma\mathbf{a}}}\right) \right] + \frac{\sqrt{\mathbf{a}^T\Sigma\mathbf{a}}}{2\pi} \exp\left( -\frac{(\mathbf{a}\cdot\mu+b+1)^2}{2\mathbf{a}^T\Sigma\mathbf{a}}\right), $$

que, obviamente, no es convexa en a $(\mathbf{a},b)$.

¿Dónde está el error?