Cómo probar$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} \int_0^1 \ln \big( 1 + e^{nf(t)} \big) dt = \int_0^1 f^+(t) dt $

Question

Que $ f \in L^1[0,1]$ ser una real valor función integrable de Lebesgue en $[0,1]$. Demostrar que

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} \int_0^1 \ln \big( 1 + e^{nf(t)} \big) dt = \int_0^1 f^+(t) dt \, , $ $ donde $f^+(t) =\max (0,f) $.

Siento que debo aplicar el teorema de convergencia dominada de alguna manera pero no puedo ver una sustitución que hace este trabajo. Cualquier sugerencia, consejos sería mucho apreció.

Answer 1

Dejo a usted la prueba que $g_n(t)=\frac{1}{n}\log (1+\exp(nf(t)) \to f^+(t)$ % fijo $t$.

Ahora $\exp(nf(t))\leq \exp(n|f(t)|)$ y $$0\leq g_n(t)\leq \frac{1}{n}\log (1+\exp(n|f(t)|)=|f(t)|+\frac{1}{n}\log (1+\exp(-n|f(t)|))$$ and then $% $ $0\leq g_n(t) \leq |f(t)|+\log(2)=h(t)\in L^1$

Ahora usted puede utilizar el DCT.

Answer 2

Escriba $[0,1]= ([0,1]\cap{f>0})\cup ([0,1]\cap{f\leq 0})=A\cup B$.

Definir $g_n(t)=ln(1+(e^{f(t)})^n)/n$. A, $g_n\to f(t)$ y B $g_n\to 0$.

Aplique BeppoLevy y mayorated, biomasa.