Sea p un primer impar. Entonces $\sum a^{-1} ≡ 0\mod p$ donde $a$ $1$ $p-1$, y $a^{-1}$ es el inverso multiplicativo de $a$ modulo p.

Question

Probar o refutar:

Que $p$ ser un primer impar. Entonces el $\sum_{a=1}^{p-1} a^{-1} ≡ 0\pmod p$% #% Dónde está el inverso multiplicativo de $a^{-1}$ modulo $a$ #%

Creo que es una declaración verdadera.

$p.$

así $\sum a^{-1} =(1^{-1} +2^{-1} +....+(p-1)^{-1} =[(p-1)(p)]/2 ≡ 0 \mod p$

$[(p-1)(p)]/2 ≡ 0 \mod p$

así $[(p-1)(p)]/2=np$

¿No estoy seguro estoy en el camino correcto? alguna ayuda con eso gracias

Answer 1

Que $S={1,..., p-1}.$ para cualquier % de conjunto no vacío finito $T$de números sea $\sum T$ la suma de los miembros de $T.$ la función $f:S\to S$ $xf(x)\equiv 1 \pmod p$ Dónde está un bijection así ${f(x):x\in S}=S$ % que $$\sum{x\in S}f(x)=\sum {f(x):x\in S}=\sum S= \sum{j=1}^{p-1}j.$$

Así que tienes razón.

Answer 2

Estás en el camino correcto.

Necesita argumentar que $\sum a^{-1} = \sum a$ porque el mapa $a \mapsto a^{-1}$ es una biyección.

Entonces usted puede terminar como lo ha hecho: $ \sum un ^ {-1} = \sum un = \frac {(p-1) p} {2} = \frac{(p-1)} {2} p \equiv 0 \bmod p $$ nota donde necesita $p$ ser impar.