Tengo dos pregunta sobre el ejemplo siguiente, en el Munkres
(1) ¿por Qué "si $f^{-1}(B)$ estaban abiertos que podría contener algunos intervalo de $(-\delta,\delta)$ sobre 0. (2)Mi segunda pregunta es un poco amplia, pero tal vez alguien puede arrojar algo de luz sobre el mismo. Mi intuición con la razón por la que ciertas funciones son continuos viene de espacios métricos. Pero, dada una función como en el siguiente ejemplo de cómo se puede ver intuitivamente si es continua?
Ejemplo 2. Considere la posibilidad de $\mathbb R^\omega$, el countably infinito producto de $\mathbb R$ con sí mismo. Recordemos que $$\mathbb R^\omega = \prod_{n \in \mathbb Z_+} X_n,$$ where $X_n = \mathbb R$ for each $n$. Let us define a function $f : \mathbb R \to \mathbb R^\omega$ by the equation $$f(t) = (t, t, t, \dotsc)$$; the $n$th coordinate function of $f$ is the function $f_n(t) = t$. Each of the coordinate functions $f_n : \mathbb R \to \mathbb R$ is continuous; therefore, the function $f$ is continuous if $\mathbb R^\omega$ is given the product topology. But $f$ is not continuous if $\mathbb R^\omega$ is given the box topology. Consider, for example, the basis element $$B = (-1, 1) \times (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \times \dotsb$$ for the box topology. We assert that $f^{-1}(B)$ is not open in $\mathbb R$. If $f^{-1}(B)$ were open in $\mathbb R$, it would contain some interval $(-\delta \delta)$ about the point $0$. This would mean that $f((-\delta \delta)) \subconjunto B$, so that, applying $\pi_n$ to both sides of the inclusion, $$f_n(-\delta, \delta)) = (-\delta, \delta) \subset (-1/n, 1/n)$$ for all $$ n, una contradicción.
