Si . Demostrar que:

Question

Que $A,\ B,\ C,\ D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Si $\operatorname{rank}\left( \begin{bmatrix} A &B \ C &D \end{bmatrix}\right)=n$, demostrar que $\det(AD)=\det(BC)$

Answer 1

Primero, asumir que las primeras columnas de $n$ son independientes. Entonces las columnas de $n$ últimos son combinaciones lineales de los primeros $n$. Por lo tanto tenemos la igualdad

$$\begin{bmatrix} A \ C \end{bmatrix} \cdot V = \begin{bmatrix} B \ D \end{bmatrix}$$

así que hemos terminado.

Ahora, si las primeras columnas de $n$ no son linealmente independientes, ambos lados son $0$.

OBS: entender qué $V$ es: la primera columna de $V$ consta de los coeficientes en la redacción de la primera columna de $\begin{bmatrix} B \ D \end{bmatrix}$ como una combinación lineal de las columnas de $\begin{bmatrix} A \ C \end{bmatrix}$.