Para un esquema noetheriano X, muestran que el $X_{red}$ afín implica $X$ afín.

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea X un Noetherian Esquema y supongamos que $X_{red}$ es afín. Mostrar que esto implica que X es afín.

OK, así que sé que el "clásico" prueba de ello el uso de Serre criterio para affineness y con cohomology. Sin embargo, me he encontrado esto en un capítulo inicial de Görtz-Wedhorn del libro, donde ninguno de estos conceptos hasta ahora se han definido. He estado tratando de llegar a una primaria de la prueba, pero sin mucho éxito. Claramente, podemos asumir que el ideal de la gavilla $\mathcal{N}$ satisface $\mathcal{N}^2 = 0$.

Yo estaría muy agradecido por la ayuda con este problema de cualquier tipo, que van desde sugerencias de soluciones.

Answer 1

Esto es suficiente para demostrar la siguiente proposición sin necesidad de utilizar cohomology.

La proposición Deje $X$ ser un esquema. Supongamos que existe un cuasi coherente $\mathcal O_X$-ideal $\mathcal I$ tal que $\mathcal I^2 = 0$ $(X, \mathcal O_X/\mathcal I)$ es afín. Deje $\mathcal F$ ser un cuasi-coherentes $\mathcal O_X$-módulo. A continuación, $\mathcal F$ es cuasi-flasque.

Prueba(sin usar cohomology): Considere la siguiente secuencia exacta. $0 \rightarrow \mathcal I \mathcal F \rightarrow \mathcal F \rightarrow \mathcal F/\mathcal I\mathcal F \rightarrow 0$. Desde $\mathcal I \mathcal F$ $\mathcal F/\mathcal I\mathcal F$ son tanto cuasi coherente $\mathcal O_X/\mathcal I$-módulos, que son cuasi-flasque por mi respuesta a esta pregunta. Por lo tanto $\mathcal F$ es cuasi-flasque por el jdc, la respuesta a esta pregunta.