Solución a $\sqrt{x^2-5}+3>|x-1|$

Question

Intenté muchas formas de resolver esto, pero no puedo entenderlo ...
ps

Answer 1

primero el dominio de la desigualdad es $(-\infty, -\sqrt 5] \cup [\sqrt 5, \infty).$

así que vamos a tratar con el valor absoluto de firmar por la rotura de la función en dos partes: en $x \le -\sqrt 5$ necesitamos resolver $\sqrt{x^2 - 5} + 3 > 1 - x$ y en $x ge \sqrt 5$ resolver $\sqrt{x^2 - 5} + 3 > x - 1$

primero para $x \le -\sqrt 5:$

$ \sqrt{x^2 - 5} > -x -2 $ implica $x^2 - 5 > x^2 + 4x + 4$ que dice que $x < -9/4.$

ahora para $x \ge \sqrt 5:$

$ \sqrt{x^2 - 5} > x -4 $ implica $x^2 - 5 > x^2 -8x + 16$ que dice que $x > 21/8$ pero para $x = 21/8$ el lado derecho $x - 4 < 0.$ $x = 21/8$ soluciona $\sqrt{x^2 - 5} > 4 - x$ lugar.

la combinación de las dos, la solución es $$-\infty < x < -\dfrac{9}{4} \text{ or } \sqrt 5 < x < \infty$$

p.s. cada día se aprende una cosa nueva.

Answer 2

Ambos lados son funciones continuas de $x$, por lo que su desigualdad relación no puede cambiar de dirección sin ellos el de la igualdad de la primera, así que ¿por qué no simplemente resolver $$ \sqrt{x^2-5}+3=|x-1| $$ Tenga en cuenta que $\sqrt{x^2-5}$ sólo está definida para $x\in\mathbb R\setminus(-\sqrt5,\sqrt5)$. La ecuación anterior tiene solución $x=-\tfrac{9}{4}$ para el caso de $|x-1|=1-x$. No tiene soluciones para $|x+1|=x+1$ desde $\sqrt{x^2-5}=x-4$ implica $x\geq 4$ desde el lado izquierdo siempre es positivo, pero el cuadrado proporciona la falsa solución de $x=\frac{21}8<4$. Luego tenemos el candidato intervalos $$ (-\infty,-\tfrac{9}{4})\qquad(-\tfrac94,-\sqrt 5]\qquad[\sqrt 5,\infty) $$ A continuación, sólo tiene que conectar un número único de cada uno de esos intervalos para determinar el sentido de la desigualdad en cada uno. Esto revelará los intervalos correctos.

Answer 3

Usted puede eliminar las raíces cuadradas o valores absolutos, siempre y cuando se conozca los signos de las expresiones bajo las raíces cuadradas o entre el valor absoluto de los signos.

Lo que usted puede utilizar : si $a,b\ge 0$, $a>b\iff a^2 >b^2$ ; si $a,b\le 0$, $a>b\iff a^2 <b^2$ ; si $a> 0 >b$, bueno... $a>b$.

Aquí es bastante simple: en primer lugar la raíz cuadrada es definida si y sólo si $x\ge \sqrt 5$ o $x\le-\sqrt 5$.

En el primer caso, $x >1$ por lo que el inecuaciones cantidades a $\sqrt{x^2-5} > x- 4$. Dos subcases:

• cualquiera de las $x<4$, y el LHS ($\ge 0$) es mayor que la RHS ($<0$).
• o $x\ge 4$, e $\sqrt{x^2-5} > x- 4\iff x^2-5 > (x-4) ^2 \iff 8x >21$,, lo cual es cierto si $x\ge4$.

En el segundo caso, el inecuaciones cantidades a $\sqrt{x^2-5} > -(x+2)$. Desde $x<-\sqrt 5$, sabemos $-(x+2)>0$, de modo que $\sqrt{x^2-5} > -(x+2)\iff 4x <-9 $, por lo que el $ x < -\dfrac94\bigl(<-\sqrt 5\bigr)$.

Como conclusión, tenemos las siguientes soluciones: $$ x< -\dfrac94\quad \text{or}\quad x\ge \sqrt 5.$$

Answer 4

SUGERENCIA: Siempre que vea algo como$|f(x)|$, puede volver a escribirlo como$\sqrt{(f(x))^2}$

Entonces:$$|x-1|=\sqrt{(x-1)^2}$ $

Answer 5

Plaza de los dos lados, teniendo siempre en cuenta que debemos tener $x^2\ge5$: $$ x^2-5+6\sqrt{x^2-5}+9>x^2-2x+1 $$ que se convierte en $$ 6\sqrt{x^2-5}>-2x-3 $$ Este se divide en dos partes: si $-2x-3<0$, la desigualdad se satisface; de lo contrario, podemos plaza de nuevo $$ 36(x^2-5)>4x^2+12x+9 $$ que se convierte en $$ 32 x^2-12x-189>0 $$ Las raíces del polinomio son $$ \frac{6+78}{32}=\frac{21}{8},\qquad \frac{6-78}{32}=-\frac{9}{4} $$ Así que nos ponemos los dos casos: $$ (1)\quad \begin{cases} x\le-\sqrt{5}\text{ or }x\ge\sqrt{5}\\ x>-3/2 \end{casos} \qquad\qquad (2)\quad \begin{cases} x\le-\sqrt{5}\text{ or }x\ge\sqrt{5}\\ x\le-3/2\\ x<-9/4\text{ or }x>21/8 \end{casos} $$ y es fácil deducir que las soluciones son $$ x<-\frac{9}{4}\text{ o }x\ge\sqrt{5} $$