Problema de la serie central inferior: $D^i(G/N) = (ND^i(G))/N$

Question

Denota por $D^iG$ el $i$ término de la serie central inferior de G, es decir $D^0G = \{1\}$ , $D^i=[G, D^{i-1}G]$ . La afirmación es que si $N$ es normal en $G$ entonces $D^i(G/N) = (ND^i(G)/N)$ .

Sé que debemos proceder por inducción, y así lo hacemos:

Para el caso base, $i=0$ tenemos: $$ D^0(G/N) = G/N \mbox{ and } (ND^0G)/N = (NG)/N$$ Pero a partir del segundo teorema del isomorfismo, $(NG)/N \cong G/(G\cap N) = G/N$ y tenemos igualdad.

Ahora, supongamos que la afirmación es válida para el $k$ y consideraremos el $k+1$ a término: $\begin{eqnarray*} D^{k+1}(G/N) &=& \left[ G/N, D^k(G/N) \right] \\ &=& [G/N, (ND^kG)/N] \\ &=& \langle [x, y] \mid x \in G/N, y \in (ND^kG)/N \rangle \\ &=& \langle xyx^{-1}y^{-1} \mid x \in G/N, y\in (ND^kG)/N \rangle \\ &=& \langle xyx^{-1}y^{-1}N \mid x \in G, y\in ND^kG \rangle \\ &=& \langle [x,y]N \mid x \in G, y\in ND^kG \rangle \\ &=& [G, D^kG]N \\ &\subseteq& (ND^{k+1}G)/N \end{eqnarray*}$

Esto da una dirección de inclusión. La otra dirección parece similar. ¿Es este el enfoque correcto? Me parece que he hecho una chapuza con la cadena de igualdades. En particular, estoy bastante seguro de que he sacado el $ND^{k+1}G$ (necesario para que $N$ es normal en $ND^{k+1}G$ ) de la nada.

¿Sugerencias, consejos, correcciones? (Soy un novato, así que sé amable :-P )

Answer 1

La inducción ciertamente funciona. (Hay otras formas de demostrarlo si se sabe un poco más de teoría, pero no es necesario aquí). Así que su enfoque es bueno.

Algunos comentarios, pues:

1. No necesitas el Segundo Teorema de Isomorfismo en el caso base: $GN = G$ Así que $GN/N = G/N$ por simple igualdad de conjuntos.

2. Puede ahorrarse un poco de trabajo si observa que $ND^i(G) = D^i(G)N$ para todos $i$ esto porque $N$ Es normal. Eso significa que $yN\in ND^i(G)/N$ si y sólo si existe $y'\in D^i(G)$ y $n\in N$ tal que $yN=y'nN=y'N$ para que pueda asumir $y\in D^i(G)$ directamente, lo que facilita algunos cálculos.

3. Sería mejor que no cambiaras entre $x$ que representan elementos del cociente y elementos del grupo original. Así que sería mejor si su tercera línea fuera $$ = \Bigl\langle [xN,yN] \Bigm| xN\in G/N, yN\in D^k(G/N)\Bigr\rangle$$ y luego usaste explícitamente la hipótesis de inducción, escribiéndola como $$ = \Bigl\langle [xN,yN]\Bigm| x\in G, y\in D^k(G)\Bigr\rangle$$ (ya con la igualdad anterior).

4. La otra inclusión es, en realidad, más fácil: si se asume que $ND^kG/N = D^k(G/N)$ , entonces mira un generador de $D^{k+1}G$ es de la forma $[x,y]$ con $x\in G$ y $y\in D^k(G)$ . Por lo tanto, $yN \in ND^k(G)/N = D^k(G/N)$ Así que $[x,y]N = [xN,yN]\in [G/N,D^k(G/N)] = D^{k+1}(G/N)$ . Por lo tanto, $ND^{k+1}G/N\subseteq D^{k+1}(G/N)$ .

5. Asimismo, para demostrar que $D^{k+1}(G/N)\subseteq ND^{k+1}G/N$ basta con demostrar que todo generador de $D^{k+1}(G/N)$ es la imagen de un elemento de $D^{k+1}G$ Así que toma $[xN,yN]\in D^{k+1}(G/N)$ con $xN\in G/N$ arbitraria y $yN\in D^{k}(G/N)$ entonces se puede utilizar la hipótesis de inducción directamente sobre $yN$ .