Puede una secuencia infinita de números enteros generar entero, en el área de los triángulos?

Question

(preguntado por Shanzhen Gao, shanzhengao en yahoo.com, en el Q&a en JMM)

¿Existe un infinito, monótonamente creciente secuencia de enteros $\{ a_n \}_{n \geq 0}$ tal que para cualquier $n$, los tres enteros $(a_n, a_{n+1}, a_{n+2})$ son las longitudes de los lados de un triángulo plano con el entero de la zona?

Answer 1

Voy a tirar una idea tonta: ¿cualquier persona puede encontrar un punto racional en

$$y^2 = - (x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^2-x-1)(x^2+x-1)?$$

ACTUALIZACIÓN: La fórmula anterior se utiliza para tener una señal de error, que acabo de fijo, y Bjorn respuesta fue la versión con la señal de error. Gracias a Kevin Buitre para señalar esto para mí.

Porque, si es así, $a_n=x^n$ da triángulos con rational área. Por supuesto, esto todavía no darle un entero solución, pero sería la regla de una serie de fáciles de argumentos en contra de uno existente.

Hice una búsqueda por fuerza bruta de los valores de $x$ con numerador y el denominador menos de 5000 y no encontrar ninguno, pero no creo que es suficiente para que incluso cuentan como evidencia en contra de uno existente.

Answer 2

Para encontrar esta secuencia, si es que existe, usted tendría que encontrar un conjunto de Heronian triángulos tales que las longitudes de los lados a:b:c en cada triángulo correspondía a los lados b:c:d en el siguiente. La serie de triángulo proporciones pueden (y probablemente lo hará, si exsts, creo) contienen un ciclo durante el cual un multiplicador se introdujo después de cada ciclo, de tal manera que los triángulos después de x:y:z y:z:(a*n), z:(a*n):(b*n), y (a*n):(b*n):(c*n).

Una somera búsqueda de los cien entero más pequeño Heronian triángulos no da tales conjunto de más de 2 triángulos, y ningún ciclo. Como Heronian triángulos pueden ser paramétrica de enumerar, sería posible realizar una búsqueda por fuerza bruta de un considerable número de ellos para una secuencia o ciclo.