Rompecabezas: La siguiente prueba que PA es incompatible?

Question

Vamos PA la media de los axiomas de Peano, vamos Con(PA) significa que los axiomas de Peano son consistentes, y vamos a Incon(PA) significa que los axiomas de Peano son inconsistentes.

Gödel 2º Teorema de la Incompletitud dice que Con(PA) no es un teorema de PA, a menos PA es inconsistente. Ahora considere el siguiente argumento de que Con(PA) es un teorema de PA:

(PA y Incon(PA)) implica Con(PA), ya que (PA y Incon(PA)) es una contradicción, y una contradicción implica nada.

(PA y Con(PA)) implica Con(PA), obviamente.

Por lo tanto, [(PA y Incon(PA)) o (PA y Con(PA))] implica Con(PA).

Entonces, dado que la PA es lógicamente equivalente a [(PA y Incon(PA)) o (PA y Con(PA))], podemos concluir que PA implica Con(PA).

Por lo tanto, por Gödel 2º Teorema de la Incompletitud, PA es inconsistente.

¿Dónde está el error? No tiene que ser un error, o de lo contrario toda la matemática que está mal.

Answer 1

El error es cuando se escribe

(PA y Incon(PA)) implica Con(PA), ya que si PA es incoherente, PA implica que todo lo que es verdadero y falso.

Todo lo que (PA y Incon(PA)) implica es que PA demuestra Con(PA) (si la PA se incoherente, ¿de verdad creen que por lo tanto 0=1?); y esto es cierto internamente a PA así. Que es, PA demuestra $$(*)\quad\mbox{If I am inconsistent, then I prove Con(PA),}$$

pero PA qué no probar $$(**)\quad\mbox{If I am inconsistent, then Con(PA)}.$$

Que es, PA no saber que es el sonido: en general, para la mayoría de las oraciones $\varphi$, PA no probar "Si PA demuestra $\varphi$ $\varphi$ es verdadero". De hecho, por la unidad de negocio del teorema de la única oraciones para que PA prueba de ello son los que PA ya demuestra ser verdad!

Tenga en cuenta que al girar el argumento de todo, en el hecho de probar:

Si PA es consistente, entonces es PA+Incon(PA).

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Relatedly, de la misma manera que afirmar la coherencia de los principios puede ser utilizado para proporcionar una jerarquía de extensiones de PA, reiteró la solidez de los principios también proporcionan una jerarquía de este tipo (aunque se les suele llamar a la reflexión de los principios en este contexto). Así que no solo PA no probar su propia solidez (incluso para $\Sigma^0_1$ frases!), pero está tan lejos de demostrar su propia solidez que la adición de la solidez de los principios a que se puede producir toneladas de fuerza adicional.

Answer 2

$PA+Incon(PA)$ no prueba que $Con(PA)$. Lo que tenemos es si $PA$ es incompatible entonces prueba $Con(PA)$ (o que si prueba de $PA$ $Incon(PA)$ entonces él también prueba $Con(PA)$). Estos dos comandos son diferentes.

Answer 3

Estás mezclando hasta los distintos significados de "incoherente".

Deje $\operatorname{Provable(X)}$ "$X$ codifica una demostrable de instrucción".

Para cualquier proposición $P$, vamos a $\ulcorner P \urcorner$ ser la codificación de $P$ como un entero. Hay un teorema:

Teorema Si $P$ es demostrable, entonces $PA$ implica $\operatorname{Provable(\ulcorner P \urcorner)}$

Una prueba de dibujo de este teorema es

• Tomar cualquier prueba de $P$
• Codificar la prueba como un número natural
• Construcción número natural en $PA$

Tu error está en asumir el converso tiene así. En particular, de $PA \text{ and } \operatorname{Provable(\operatorname{Incon}(PA))}$, uno no puede concluir que $PA$ es inconsistente.

A grandes rasgos, el problema es que la lógica de primer orden ¿ no probar el infinitary teorema $x = 0 \vee x = 1 \vee x = 2 \vee \cdots $; por lo tanto, si algún modelo de $PA$ tiene un número de codificación de una prueba de $\ulcorner P \urcorner$, uno no puede asumir dicho número es en realidad un número natural¹, lo que significa que no podemos asumir que puede ser decodificado en una prueba de $P$.

Dicho de otra manera, en cualquier modelo de $PA \wedge \operatorname{Incon}(PA)$, la prueba de $\operatorname{Incon}(PA)$ es infinitamente larga, por lo que no cuenta como prueba. (la longitud de la prueba es un número en el modelo, por supuesto, por lo que el modelo piensa que es un número finito, pero el modelo puede ser estándar y tienen infinitamente grandes números)

_{1: yo uso "número natural" para referirse específicamente a los números naturales que aparecen en cualquier ambiente de la teoría que hemos desarrollado la lógica formal; por ejemplo, el modelo dado por los decimales}

Answer 4

Con(PA) no es una declaración que puede ser realizado en el idioma de la PA.

Vamos a [PA] denotan una codificación aritmética de primer orden lógico de las reglas y de los axiomas de la PA. Ahora con [PA] es una declaración acerca de ciertas aritmética de las relaciones, y no una declaración sobre cualquier parte del PA en sí. Uno de los resultados de Gödel implica que si PA que realmente es consistente, entonces con[PA] no es un teorema de PA.

Así que si PA es consistente, entonces también lo es $PA+\neg ($con$[PA])$.

Porque, si S es cualquier sistema de axiomas en un idioma, y si la sentencia T en que el idioma no es un teorema de S, entonces S y $S+(\neg T)$ son consistentes.