Resolver la ecuación cúbica $x^3-9 x^2-15x-6 =0$ sin ir a Cardano

Question

Resolver la ecuación cúbica para $x\in\mathbb{R}$ $$x^3-9 x^2-15x-6 =0$$

Tenga en cuenta que la única solución real es $x=3+2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{7^2}$ . Dada la regularidad de esta solución, ¿podemos resolverla de forma constructiva, sin llegar a ¿Cardano? .

Además, ¿podemos demostrar que sólo hay una solución real sin utilizar el discriminante?

Answer 1

Como alternativa al método de Cardano, sustituyendo $x=3+2\sqrt{14}\cosh t$ en $x^3-9 x^2-15x-6=0$ para conseguir $$4\cosh^3t-3\cosh t = \cosh 3t = \frac{15}{4\sqrt{14}}$$ lo que lleva a $t=\frac13\cosh^{-1}\frac{15}{4\sqrt{14}}$ y, a continuación, la solución $$x=3+2\sqrt{14}\cosh\left(\frac13\cosh^{-1}\frac{15}{4\sqrt{14}}\right)$$ que es numéricamente igual a $3+2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49}$ .

Answer 2

Sustituir $x=\frac1{t-1}$ para traducir $x^3-9 x^2-15x-6 =0$ en $$6t^3-3t^2-3t-1=0$$ y luego reescribirlo como $7t^3=(t+1)^3$ , que da como resultado $t=\frac1{\sqrt[3]7-1}$ y a su vez la solución $$x= \frac1{t-1} =\frac{\sqrt[3]7-1}{2-\sqrt[3]7}=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]7+3 $$

Answer 3

Si $y=x-3$ y $y^3-42y=105$ , entonces toma $y=t+r\implies t^3+r^3+(3tr-42)y=105$ entonces: $$3tr-42=0$$$$ t^3+r^3=105$$

$$3tr-42=0\implies tr=14\implies t^3r^3=2744$$ Entonces $t^3$ et $r^3$ son raíces de: $$Z^2-105Z+2744=0$$ Entonces $Z_1=49$ y $Z_2=56$ , $\implies t^3=49$ y $r^3=56$ , $\implies t=\sqrt[3]{7^2}$ y $r=2\sqrt[3]{7}$

Answer 4

Cuando dices "Cardano completo", ¿te refieres a usar una fórmula? Porque hay una proceso para resolver un cubo que es constructivo. Pero tal vez usted no quiere esto porque es esencialmente cómo construir la fórmula de Cardano.

Sustituyendo $x=y+3$ conduce a:

$$\begin{align} x^3-9x^2-15x-6&=0\\ (y+3)^3-9(y+3)^2-15(y+3)-6&=0\\ y^3-42y-105&=0 \end{align}$$

Ahora introduzca los parámetros $u$ y $v$ tal que su suma es una solución $y$ : $$\begin{align} (u+v)^3-42(u+v)-105&=0\\ u^3+v^3+(3uv-42)(u+v)-105&=0 \end{align}$$ Tenemos libertad para elegir $u$ tal que $3uv-42=0$ . Esto implica $v=\frac{14}{u}$ y simplifica la ecuación anterior: $$\begin{align} u^3+\left(\frac{14}{u}\right)^3-105&=0\\ u^6-105u^3+14^3&=0 \end{align}$$ Esto es cuadrático en $u^3$ : $$\begin{align} u^3&=\frac{105\pm\sqrt{105^2-4\cdot14^3}}{2}\\ u^3&=\frac{105\pm7}{2}\\ \end{align}$$ Puede suponer que el " $+$ " para $u^3$ ya que el " $-$ " daría la simetría $v^3$ . $$\begin{align} u^3&=\frac{105+7}{2}=56\\ u&=2\sqrt[3]{7} \end{align}$$ De los cuales $v=\frac{14}{2\sqrt[3]{7}}=\frac{7}{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[3]{7^2}$ .

Y ahora $x=y+3=u+v+3=2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{7^2}+3$ .

Answer 5

Sea la ecuación cúbica $f=ax+bx^2+cx^3$ entonces para la ecuación $x^3 - 9 x^2 - 15 x - 6 = 0$ tenemos $a=-15,b=-9,c=1,f=6$ .

Fórmula cúbica no cardánica:

$X=\dfrac{-(a b+9 c f)+\sqrt{(a b+9 c f)^2-4 (b^2-3 a c) (a^2+3 b f)}}{2 (b^2-3 a c)}=-1/2$

$A=a+2 b X+3 c X^2=-21/4$

$F=a X+b X^2+c X^3-f=-7/8$

$G=A^3-27 c F^2=-1323/8$

$Q=\Big\{G^{1/3},-(-1)^{1/3} G^{1/3},(-1)^{2/3} G^{1/3}\Big\}=\Big\{(3/2) (-1)^{1/3} 7^{2/3}, -(3/2) (-7)^{2/3}, -(3/2) 7^{2/3}\Big\}$

$x=X+\dfrac{3 F}{Q-A}=\Big\{-(1/2)\Big(1+\dfrac{7}{7 + 2 (-1)^{1/3} 7^{2/3}}\Big), \dfrac{7 - (-7)^{2/3}}{-7 + 2 (-7)^{2/3}},\dfrac{7 - 7^{2/3}}{-7 + 2\cdot 7^{2/3}}\Big\}=\\ \Big\{3 - 7^{1/3} - 7^{2/3}/2 - i \sqrt{3} (-7^{1/3} + 7^{2/3}/2), 3 - 2 (-7)^{1/3} + (-7)^{2/3}, 3 + 2\cdot 7^{1/3} + 7^{2/3}\Big\}=\\ \Big\{-0.742584 + 0.144242\cdot i, -0.742584 - 0.144242\cdot i, 10.4852\Big\}$

Y nota: $z^3=w \implies z=\Big\{w^{1/3},-(-1)^{1/3}w^{1/3},(-1)^{2/3}w^{1/3}\Big\}$ ,

donde $\Big\{-(-1)^{1/3},(-1)^{2/3}\Big\}=\Big\{e^{-2\pi\cdot i/3},e^{2\pi\cdot i/3}\Big\}=\Big\{-0.5 - 0.866025\cdot i, -0.5 + 0.866025\cdot i\Big\}$