¿Intersección de la colección de conjuntos que no están en la colección de conjuntos?

Question

Hola, me estaba haciendo una práctica problema y me encontré con algo que clase de tropezar conmigo. La pregunta dice:

Supongamos que la Colección de $F$ está dado por $F=\{ [1, 1+ 1/n] : n\in \mathbb{N}\}$

Encontrar la unión de esta colección de conjuntos y encontrar la intersección de estos conjuntos (estoy luchando para escribir esto).

Miré a la solución y no entiendo por qué la intersección es $\{1\}$. Este elemento es, en realidad, no figura en ninguno de los conjuntos, ya que todos los elementos del conjunto son los intervalos. ¿Alguien puede por favor explicar por qué esto es así? Intuitivamente, en algún nivel, tiene sentido desde $1$ es el único común "cosa" por falta de una mejor palabra, pero no es la intersección de una colección de conjuntos de elementos que son comunes a todos los juegos?

Answer 1

Si $\cal A$ es una colección de conjuntos, a continuación, definimos las dos operaciones:

1. La unión de $\cal A$ que es $\bigcup{\cal A}=\{x\mid\exists A\in{\cal A}: x\in A\}$. Así, los elementos de la unión de todos aquellos que son elementos de los elementos de la colección de $\cal A$.
2. La intersección de a $\cal A$ que es $\bigcap{\cal A}=\{x\mid\forall A\in{\cal A}:x\in A\}$. Del mismo modo, los elementos de la intersección son aquellos que son elementos en todos los elementos de a $\cal A$.

Así que ahora buscamos $\bigcup F$$\bigcap F$. Lo que los números reales son en todos los intervalos? ¿Cómo se puede describir el conjunto bien? ¿Cuál es la colección de los números reales que aparecen en algunos de los conjuntos?

Permítanme sugerencia para la primera respuesta, $1$ es claramente en todos los intervalos y no hay ningún número menor que $1$ es en cualquier intervalo de tiempo, para empezar. Para cada número de $x>1$ podemos encontrar un intervalo de $[1,1+\frac1n]$ tal que $x$ no está en ese intervalo. Así que los números aparecen en todos los intervalos?

A su párrafo final, permítanme añadir que $\{1\}$ es de hecho el intervalo de $[1,1]$. Y lo va a demostrar que la intersección de la no-degenerada intervalos no tiene que ser un no-degenerada intervalo.

Answer 2

El elemento $1$ está contenida en todos los conjuntos de la colección; el conjunto $\{1\}$ no es un miembro de la colección, pero es un subconjunto de cada miembro de la colección. (En realidad es un intervalo, por la forma: $\{1\}=[1,1]$, un degenerado intervalo cerrado. Por definición,$[a,b]=\{x:a\le x\le b\}$, y si $a=b$ que contiene sólo un elemento $a=b$.)

Para cada una de las $n\in\Bbb Z^+$ deje $F_n=\left[1,1+\frac1n\right]$, y vamos a $\mathscr{F}=\{F_n:n\in\Bbb Z^+\}$. ($\mathscr{F}$ es la colección llamada $F$ en su pregunta; he cambiado el nombre a $\mathscr{F}$ a distinguir más claramente a partir de los nombres que he dado a los conjuntos individuales de la colección.) Quieres

$$\begin{align*} \bigcap\mathscr{F}&=\bigcap_{n\in\Bbb Z^+}F_n\\\\ &=\bigcap_{n\ge 1}\left[1,1+\frac1n\right]\\\\ &=[1,2]\cap\left[1,\frac32\right]\cap\left[1,\frac43\right]\cap\left[1,\frac54\right]\cap\ldots\cap\left[1,\frac{n+1}n\right]\cap\ldots\;. \end{align*}$$

Esta es la intersección de un montón de conjuntos de números reales, por lo que va a ser en sí mismo un conjunto de números reales. Específicamente, es el conjunto de todos los números reales que están en todos los conjuntos de $F_n$:

$$\begin{align*}\bigcap\mathscr{F}&=\{x\in\Bbb R:x\in F_n\text{ for all }n\in\Bbb Z^+\}\\\\ &=\left\{x\in\Bbb R:1\le x\le 1+\frac1n\text{ for all }n\ge 1\right\}\;. \end{align*}$$

Si $n$ es cualquier entero positivo, es cierto que $1\le 1\le 1+\frac1n$, lo $1\in F_n$. Por lo tanto, $1\in\bigcap\mathscr{F}$. Supongamos que $x\ne 1$. Si $x<1$, entonces obviamente $x$ no pertenece a ninguno de los intervalos de $F_n$. Si $x>1$,$x-1>0$, y existe un entero positivo $n$ lo suficientemente grande como para que $\frac1n<x-1$. Pero, a continuación,$x>1+\frac1n$, lo $x\notin\left[1,1+\frac1n\right]=F_n$. Es decir, si $x$ es cualquier número real distinto de $1$, podemos encontrar una $n\in\Bbb Z^+$ tal que $x\notin F_n$, y por lo tanto $x\notin\bigcap\mathscr{F}$. Por lo tanto, $1$ es el único número real que pertenece a todos los intervalos de $F_n$, así que es la única cosa en la intersección de todos los intervalos:

$$\bigcap\mathscr{F}=\{1\}\;.$$

Answer 3

Primero tenga en cuenta que$1$ es un elemento de cada uno de los intervalos de la forma$[1,1+\frac{1}{n}]$, y por lo tanto$1$ está en la intersección. Ahora, suponga que$x$ está en la intersección. Entonces$x$ está en todos los intervalos mencionados, por lo tanto,$1\le x\le x+\frac{1}{n}$ se cumple para todos$n\ge 1$. Eso solo es posible si$x=1$, esto muestra que el único elemento en la intersección es$1$. En otras palabras: la intersección es el conjunto$\{1\}$.

Answer 4

El intervalo$[1,1+1/n]$ es un intervalo cerrado que contiene ambos puntos finales. Normalmente, un intervalo abierto se denota como$(a,b)$, aunque algunas personas usan$]a,b[$.