El entero $n$ no es cero si y sólo si hay un % alto $p>n$tal que $p-n$el % está compuesto

Question

Recientemente he resuelto un problema (que se planteaba en un español hablando en el foro) en el que he utilizado el siguiente lema.

El entero $n$ no es cero si y sólo si hay un primer $p>n$ tal que $p-n$ es compuesto.

Esta es mi prueba (yo sólo escribo la "no-trivial de" implicación):

Deje $n$ ser un entero distinto de cero y vamos a $p>|n|$ ser una de las primeras. Entonces existen enteros $q$ $r$ tal que $$n=pq+r$$ and $0<r<p.$ It follows that if $p'>n+p$ is a prime of the form $p'=pk+r,$ $k\in\mathbb Z$ (its existence follows from Dirichlet's Theorem) then $$p'-n=pk+r-pq-r=p(k-q)$$ and since $k-q>1,$ $p'-n$ es un número compuesto (nota de que, de hecho, hay infinitamente muchos de esos números primos).

Mi pregunta es, puede que resultan ser probadas en un más elemental forma (sin recurrir a del teorema de Dirichlet)?

Answer 1

Caso 1: $n$ es positiva.

Que $p$ sea el menor número primo mayor que $(n+1)!+1$. Ya que hay infinitamente muchos números primos, ciertamente existe tal $p$. Tenga en cuenta que el $n$ números $$ (n+1)!+2,(n+1)!+3,\dots,(n+1)!+(n+1) $$ son todos compuestos. Así $p>(n+1)!+(n+1)$ y así $p > p-n>(n+1)!+1$. Como en este intervalo no hay números primos, $p-n$ es compuesto.

Caso 2: $n$ es negativo.

Si va compuesto $2-n$ $p=2$. De lo contrario, tomar $p=2-n$.

Answer 2

Para cualquier no-cero $n$, algunos progresión aritmética mod $n$ contiene una infinidad de números primos (esto no requiere del teorema de Dirichlet, sólo Euclides + caja). Pero si $n$ es un contraejemplo, luego de la indicada condición de las fuerzas de cada (suficientemente grande) término de la progresión aritmética a ser simultáneamente prime (esto es especialmente cierto para $n<0$ donde ni siquiera la necesidad de asumir un número infinito de números primos en esa progresión, sólo uno de ellos). Esto es claramente imposible (por ejemplo, elija cualquiera de los prime $q$ que no dividen $n$ y algunos de los términos de la progresión será divisible por $q$).