Me pareció muy divertido cómic en internet el otro día:
La última imagen parece la afirmación de que los armónicos de la serie converge si echáis todos los términos con un $9$ en el denominador. ¿Es esto cierto? Donde puedo encontrar una prueba? Es sólo cierto para los términos con un $9$ o es verdadera para cualquier número? Si es cierto sólo para$9$, ¿por qué?
Sí, es cierto, como Kempner resultó en un breve artículo en 1914; esta serie, y a veces variantes, que ahora son llamados Kempner de la serie. Un ingenuo argumento de que los grupos de términos por el número de dígitos en el denominador da una cota superior para el límite: $$\sum_{\text{$n$ does not contain $9$}} \frac{1}{n} < 8 \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{9}{10}\right)^{n-1} = 80.$$ Esta estimación está crudo, sin embargo: El valor real es de $22.92067\ldots$. Incluso cómputo de este límite a la alta precisión es trivial, en parte debido a que la serie converge muy lentamente: Baillie mostró que después de la recapitulación $10^{27}$ términos que el resto aún tiene valor $> 1$ (!).
No hay nada especial sobre el número de $9$ aquí, salvo tal vez que la serie omitiendo converge más lento entre series del mismo modo construido por la omisión de los términos de la serie armónica, que contiene un dígito. Uno puede excluir más cadenas de dígitos, como 5xum menciona en su comentario útil; en este caso general, la serie todavía converge, pero (como, en un sentido que puede ser hecho preciso, hay menos números enteros positivos omitiendo cualquier de dos dígitos de la cadena de los omitiendo $9$), incluso más lentamente que la de la serie omitiendo $9$.
R. Baillie, las Sumas de los Recíprocos de los números Enteros Falta un Dado cifras, La American Mathematical Monthly, Vol. 86, Nº 5 (Mayo de 1979), pp 372-374.
A. J. Kempner, Una Curiosa Serie Convergente, La American Mathematical Monthly Vol. 21, Nº 2 (Feb., 1914), pp 48-50.
Sólo para la eliminación de nueves, usted puede encontrar la prueba aquí:
https://www.math.wisc.edu/~matz/UgradThesis.pdf
(no es mi tesis, pero parece demostrado ACEPTAR).
Es realmente cierto para cualquier cadena finita de números enteros, si recuerdo correctamente. Por ejemplo, la serie converge si queremos eliminar todos los números enteros que contienen la subcadena $32947902384769234$. El mejor sitio que he encontrado explicar el fenómeno (primer investigado por Kempner, de ahí el nombre de Kempner de la serie) se puede encontrar AQUÍ
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