Prueba de un límite polinómico donde x 0

Question

Prueba

$$\lim \limits_{x\to 0} x^3+x^2+x = 0$$ Nota $|f(x)-L| = |x^3+x^2+x|$

Supongamos que $\ \ |x-c|<\delta \implies |x| < \delta$

$\implies |x^3+x^2+x|<\delta\cdot|x^2+x+1|$

Supongamos que $|x| < 1 \implies -1 < x < 1 \implies 0 < x+1 < 2$

Y no estoy seguro de a dónde ir desde allí, ya que no puedo multiplicar la desigualdad por $x$ para conseguir $x^2$ porque $x$ puede ser negativo o positivo.

Answer 1

Tome $\varepsilon>0$ y elegir $\delta=\min\left\{1,\frac\varepsilon3\right\}$ . Entonces, $|x|<\delta\implies|x|<1\implies|x|^2,|x|^3<|x|$ . Por otro lado, $$|x|<\frac\varepsilon3\implies|x^3+x^2+x|\leqslant|x|^3+|x|^2+|x|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\varepsilon.$$

Answer 2

Una pista: Utiliza la desigualdad del triángulo $|a+b|\leq |a|+|b|$ . Se puede concluir $|x^2+x+1|\leq |x|^2+|x|+1$ y no tienes que preocuparte por el signo de $x$ .

Answer 3

Sólo necesita una estimación "suficientemente buena" de $|x^2+x+1|$ para un tamaño adecuado $|x|$

Tenga en cuenta que para $|x|\lt 1$ tienes $|x^2+x+1|\le |x^2|+|x|+1\lt 3$

Así que si $\delta\lt 1$ tienes $|x^3+x^2+x|\lt 3\delta$ y puedes hacerlo tan pequeño como quieras.

Answer 4

Como alternativa por el teorema de squeeze asumiendo $|x|<1$

$$0\le |x^3+x^2+x|=|x||x^2+x+1|\le 3|x| \to 0$$