Colecciones innumerables de arcos en el plano con las características prescritas

Question

Me preguntaba, si para cada ángulo de $0 \leq \theta < 2\pi$ tenemos una innumerable colección de $A_\theta$ de pares disjuntos, cerrado, segmentos de línea recta con una longitud de $1$ y la pendiente $\theta$ en el avión, es posible que todos los de la $A_\theta$'s de estar inmerso en el plano simultáneamente? Es decir, es una colección de pares disjuntos, unidad cerrada segmentos en el plano de tal manera que para cada ladera, una cantidad no numerable tiene que la pendiente?

Siento la respuesta es no. Cubrir el plano con una suficientemente pequeño mosaico de cuadrados que se encuentra, para cada ladera, algunos de par en la cubierta, tales que cada uno tiene una cantidad no numerable de puntos finales de los segmentos con esa pendiente. A continuación, puede elegir un cuadrado 'entre' la pareja en relación a la pendiente de tal forma que su límite es atravesada por una cantidad no numerable de segmentos de dos veces. Otro recuento de procedimiento, a continuación, las fuerzas de la existencia de un cuadrado tal que esto sucede por una cantidad no numerable de diferentes ángulos.

Los detalles de esas partes son triviales, pero ahora me quedo atascado mostrando que esto es imposible. Es decir, que este cuadrado compacto no puede contener una cantidad no numerable de las familias de una cantidad no numerable de los segmentos que abarca su perímetro, cada uno de cuyos miembros son disjuntas. Parece ser que el orden de la teoría de la declaración, ya que sabemos que cada uno de estos innumerables conjuntos (por una pendiente dada) contiene un innumerable conjunto cerrado. Podemos suponer que es el Conjunto de Cantor para todos, pero countably muchos, para que no podamos obtener un incontable número de pares-distintos barrios de la plaza.

Pero hay una innumerable colección de pares disjuntos Conjuntos de Cantor en la unidad de intervalo (equivalentemente, el círculo/cuadrado de perímetro). Así que me estoy preguntando, esta prueba puede ser salvo por algunos hechos acerca de cómo estos están incrustados juntos?

Esta área de matemáticas ha sido estudiado algunos, en la forma de descomposición del plano o conjuntos/configuraciones de varios objetos en el plano, pero no estoy familiarizado con la literatura. ¿Alguien tiene un buen punto de partida para este último punto de vista (es decir, no usc descomposición de la teoría), de preferencia de acceso abierto? Supongo que la pregunta anterior habría sido abordado desde muy temprano en su desarrollo, pero este problema puede ser generalizada en muchas maneras. ¿A nadie a ver algunas generalizaciones que este método todavía funciona? No he molestado a suss, así que siéntase libre de tomar el crédito jaja

Cool resultados de este sabor, por favor compartir!!!

Gracias!

Answer 1

Esta es sólo una solución parcial y una explícita formulación del Conjunto de Cantor de la teoría de la instrucción que debe ser probado. Este es el paso que sigue para la prueba:

Problema: Supongamos que $C_\alpha$ es una innumerable colección de pares disjuntos copias del Conjunto de Cantor en la unidad de intervalo de $[0,1] = I$. Deje $C$ ser la unión de estos conjuntos en $I$. Es posible que para los índices de $\lbrace \alpha \rbrace$ que si $x \in C_\beta$ $y_n \in C$ $y_n \rightarrow x$ desde la izquierda, a continuación, finalmente cada una de las $y_n$ se encuentra sólo en algunos $C_\alpha$'s $\alpha \leq \beta$? Con la misma condición impuesta para la convergencia de la derecha.

La manera fácil de estado, esto es: los Puntos de estos Conjuntos de Cantor $C_\alpha$ pueden converger desde la izquierda a algún punto en otro Conjunto de Cantor $C_\beta$ si y sólo si sus índices son, finalmente, a la izquierda de $\beta$.

Mi intuición ha sido que esto es imposible, es decir, los conjuntos de $C_\alpha$ será tan enredados el uno con el otro que podría crisis de sí mismos demasiado delgada para caber todo en el intervalo, si la orden requisito se imponga. Todavía no he sido capaz de completar la prueba, pero creo que es casi un hecho. Aquí están algunas reducciones que he hecho:

Para cada una de las $C_\alpha$ se puede escribir como el complemento de una secuencia finita de los sindicatos de abrir los intervalos de forma normal, y $C_\alpha$ puede ser escrito como el cierre de los puntos extremos de estos intervalos. Por tanto, para cada $C_\alpha$ podemos distinguir una contables de la colección de sus puntos de $\lbrace x_\alpha^1, x_\alpha^2, \dots \rbrace$ lo que representa su primer punto (en relación a la orden de la $I$), su último punto, los dos puntos finales de la primera eliminada de intervalo, entonces los cuatro puntos finales de la próxima nivel de extirpados intervalos, etc. Y este conjunto es denso en $C_\alpha$.

Ahora de considerar a la familia $\lbrace x_\alpha^1 \rbrace$. Puesto que el $C_\alpha$'s son pares disjuntos, cada uno de estos puntos es único. La colección satisface el orden natural heredado de $I$, por lo que por el lema 3.2.1 en Whyburn Analíticas de Topología (p. 44), podemos descartar una contables subcolección y quedar con un saturada de la familia, yo.e uno donde cada punto es un $\omega$-acumulación, tanto en sus predecesores y sucesores, relativa a la orden de $I$.

Puesto que cada punto es que vienen de otro $C_\alpha$, después de descartar el Cantor Conjuntos asociados con la descartados puntos, esto significa que la izquierda punto final de cada una de las $C_\alpha$ es un punto de condensación de la izquierda y a la derecha por la izquierda los puntos de otros $C_\beta$. Hacer esto para cada una de las $n$ descartamos en la mayoría de los countably muchos $C_\alpha$ y ahora tiene una innumerable colección de pares disjuntos Cantor Conjuntos tales que sus designado densos conjuntos de todos los $\omega$-se acumulan en cada uno de los otros'.

Esto significa que, en particular, el extirpados de intervalos convergen para cada uno de los otros. Pero ellos no pueden ser iguales desde el Cantor Conjuntos son distintos el uno del otro. Parece que ahora obtiene una contradicción, en cuanto a si estos extirpados los intervalos están a la izquierda, a la derecha, o contienen el medio extirpados intervalo para algunos fijos $C$ que una colección de puntos finales están convergiendo en. ¿Alguien vea cómo terminar desde aquí?