Usos de las estructuras algebraicas en el mundo real

Question

Soy estudiante de informática, y en matemáticas discretas estoy aprendiendo sobre estructuras algebraicas. En eso estoy teniendo conceptos como Grupo,semigrupos etc....

Anteriormente estudié Gráficos. Puedo ver una excelente aplicación en el mundo real para eso. Creo firmemente que en el futuro podré utilizar muchos de ellos en mis algoritmos de codificación relacionados con los gráficos.

Podría alguien decirme la aplicación en el mundo real de las estructuras algebraicas también...

Answer 1

He aquí un lugar por el que empezar. La irracional eficacia de la teoría de los números contiene las siguientes encuestas interesantes. Sus referencias deberían proporcionar buenos puntos de entrada a la literatura relacionada.

- M. R. Schroeder -- La irracional eficacia de la teoría de los números en la física, la comunicación y la música

- G. E. Andrews -- La eficacia razonable y no razonable de la teoría de números en la mecánica estadística

- J. C. Lagarias -- Teoría de los números y sistemas dinámicos

- G. Marsaglia -- Las matemáticas de los generadores de números aleatorios

- V. Pless -- Ciclotomía y códigos cíclicos

- M. D. McIlroy -- La teoría de los números en la infografía

Answer 2

La teoría de grupos puede considerarse al menos una forma de abordar la idea de simetría.

Por ejemplo, tomemos algo bonito y simétrico como un círculo (por el bien del argumento, consideremos sólo las simetrías rotacionales). ¿Qué se obtiene al final?

En primer lugar, tienes "acciones" que puedes realizar sobre el círculo que conservan la simetría, por ejemplo, girarlo por $\pi / 6$ radianes. En segundo lugar, tienes el conjunto de puntos del círculo en sí, y en tercer lugar tienes una forma de combinarlos, es decir, una rotación de $\pi / 6$ con un punto de partida de $(1,0)$ te da y punto final $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$ .

Este es un ejemplo matemático, pero esencialmente cualquier simetría en nuestro mundo natural o construido tendrá algo así... esto se llama una "acción de grupo".

Answer 3

Los grupos finitos se utilizan en el análisis de la simetría molecular, y la wikipedia sobre "simetría molecular" es un punto de partida razonable. Finito semigrupos finitos están relacionados con la teoría de los autómatas finitos en informática, pero no conozco ninguna fuente que trate la combinación de forma accesible. La teoría de la codificación utiliza en gran medida los campos finitos y los códigos cíclicos son un elemento importante de la teoría de la computación. campos finitos y los códigos cíclicos se basan en anillos finitos. (Mi fuente recomendada para esto sería "Error-Correcting Codes and Finite Fields" de Pretzel).

Answer 4

El hecho de que existan electrones , positrones , quarks , neutrinos y otras partículas en el universo se debe a que el estado cuántico de estas partículas respeta la invariancia de Poincare. Dicho en términos más sencillos, si la teoría de la relatividad de Einstein se mantiene , algunos argumentos utilizando la teoría de grupos muestran que este tipo de partículas que he mencionado respeta la teoría de Einstein y que no hay ninguna razón fundamental para que no existan. Los cientificos han usado la teoria de grupos para predecir la existencia de muchas particulas.Usamos un tipo especial de grupos llamados grupos de lie que son grupos y manifolds al mismo tiempo.Por ejemplo $GL(n,R)$ es un grupo de mentira de transformación lineal invertible del espacio euclidiano de n dimensiones. Las operaciones de simetría corresponden a elementos que viven dentro de los grupos. Si se mapean estos elementos de simetría al grupo de transformaciones invertibles (y unitarias) de un espacio de Hilbert (un espacio vectorial de dimensión infinita donde viven los estados cuánticos de las partículas) se puede estudiar cómo se transforman estos estados de las partículas bajo la acción del grupo