Notas: el Tao del axiomas y original propuesta de la declaración y la prueba son los siguientes. Preguntas similares se han preguntado aquí y aquí, pero yo no era capaz de resolver mis problemas. En particular, me he dado cuenta, parece que hay una gran cantidad de la teoría de conjuntos ocurriendo "debajo del capó", y me parece bastante conceptual y lógicamente problemática que Tao presenta esta proposición en un capítulo antes de que cualquier teoría de conjuntos es aún discutido. Él comenta en una nota de pie de página cómo la proposición puede ser formulado de manera más rigurosa en el lenguaje de la teoría de conjuntos, pero lo deja como el último ejercicio en una sección en el capítulo sobre la teoría de conjuntos. Esto parece bastante descuidado para mí, pero estoy haciendo lo mejor que puedo para seguir lo que él está tratando de comunicar y el cómo/por qué de su prueba. He encontrado este post en el blog de Keith Devlin a ser muy interesante, pero un poco por encima de mi cabeza. Hay una real buena manera de entender el Tao de la proposición sin una sólida formación en la teoría de conjuntos axiomática?
EDIT: me han reformulado mi pregunta como en gran parte una solicitud para que la gente comente o critique mi intento de "una más desarrolladas inductivo de la prueba". Dado que la prueba es por inducción, voy a tratar de esbozar mis pensamientos según la forma típica de una inducción a prueba de obras. Cualquier comentario como para que donde yo estoy mal o lo que necesita ser arreglado, sería muy apreciado.
Prueba de intento:
Caso Base: El procedimiento da un valor único a $a_0$, es decir,$c$. Mi opinión es que nosotros básicamente asumir un número natural $c$ existe debido a la Suposición de 2.6, y nos limitamos a hacer la definición de $a_0\colon=c$. Ninguna de las otras definiciones de la $a_{n++}\colon=f_n(a_n)$ va a redefinir el valor de $a_0$ debido a la forma en la que un número natural $a_n$ es asignado a otro número natural $n$ es por la asignación de $a_{n++}\colon=f_n(a_n)$, lo que implica el sucesor, y el Axioma 2.3 nos dice que $n++\neq0$ para cada número natural $n$. Por lo tanto, es imposible definir (de nuevo) $a_0$ una vez que el procedimiento ha comenzado.
Inductivo paso: Supongamos inductivamente que el procedimiento da un valor único a $a_n$. Queremos mostrar que un único valor está dado entonces a $a_{n++}$, es decir,$a_{n++}\colon=f_n(a_n)$. Primero debemos notar que $a_n$ ser un solo valor es crítico debido a que $a_{n++}$ va a ser definida a ser $a_{n++}\colon=f_n(a_n)$, y no sería sensato empezar a pensar acerca de $a_{n++}$ ser un solo valor si $a_{n++}$ fueron definidos en términos de una función cuyo argumento era multi-valor (es decir, si $a_n$ fueron múltiples valores, entonces se podría esperar razonablemente $f_n(a_n)$ para devolver varios valores distintos). Puede parecer como si nosotros ahora podemos confiar en $a_{n++}$, siendo de un solo valor, pero no es una preocupación que debemos abordar, a saber, la posibilidad de que para una posterior natural de número de $m$ la correspondiente definición, $a_{m++}\colon=f_m(a_m)$ alguna manera podría provocar $a_{n++}$ a ser de varios valores. Cómo?
Si nos encontramos con un $m$ que $n++=m++$ pero $f_n(a_n)\neq f_m(a_m)$, entonces tendríamos un problema debido a que $n++=m++$ implica que el $a_{n++}=a_{m++}$. ¿Por qué habría de ser esto un problema? Así, con $a_{n++}\colon= f_n(a_n)$$a_{m++}\colon= f_m(a_m)$, tendríamos $a_{n++}=f_n(a_n),f_m(a_m)$ aunque $f_n(a_n)\neq f_m(a_m)$, lo que indica que $a_{++}$ no tienen un único valor asignado, como se desee. ¿Cómo podemos resolver este problema potencial?
Supongo que más adelante en el proceso nos encontramos con un $m$ correspondiente a la definición de la $a_{m++}\colon= f_m(a_m)$, donde también tuvimos $n++=m++$. Desde $n++=m++$, debe ser el caso de que $n=m$ por Axioma 2.4. Por lo tanto, también debemos tener $f_n(a_n)=f_m(a_m)$, lo que demuestra que ninguna de las otras definiciones de $a_{m++}\colon= f_m(a_m)$ va a redefinir el valor de $a_{n++}$, y, por tanto, un único valor es asignado a $a_{n++}$.
Esto completa la inducción, y por lo $a_n$ se define para cada número natural $n$, con un valor único asignado a cada una de las $a_n$.
Contenido por Tao:
Axioma 2.1. $0$ es un número natural.
Axioma 2.2. Si $n$ es un número natural, entonces $n{++}$ es también un número natural.
Axioma 2.3. $0$ no es el sucesor de ningún número natural ; es decir, tenemos $n{++} \ne 0$ para cada número natural $n$.
Axioma 2.4. Diferentes números naturales debe tener los distintos sucesores ; es decir, si $n, m$ son números naturales y $n \ne m$,$n{++} \ne m{++}$. Equivalentemente, si $n{++} = m{++}$, entonces tenemos que tener en $n=m$.
Axioma 2.5. (Principio de inducción matemática). Deje $P(n)$ ser cualquier propiedad perteneciente a un número natural $n$. Supongamos que $P(0)$ es cierto, y supongo que siempre $P(n)$ es verdadero, $P(n{++})$ también es cierto. A continuación, $P(n)$ es verdadera para todo número natural $n$.
Asunción 2.6. (Informal), existe un sistema de número de $\mathbb{N}$, cuyos elementos llamaremos números naturales, para que los Axiomas 2.1-2.5 son verdaderas.
La proposición 2.1.16 (definiciones Recursivas). Supongamos que para cada número natural $n$, tenemos la función $f_{n} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ a partir de los números naturales a los números naturales. Deje $c$ ser un número natural. A continuación, podemos asignar un único número natural $a_{n}$ a cada número natural $n$, de tal manera que $a_{0} = c$ $a_{n{++}} = f_{n} (a_{n})$ para cada número natural $n$.
Prueba. (Informal) se utiliza la inducción. Primero hemos de observar que este procedimiento da un valor único a $a_0$, es decir,$c$. (Ninguna de las otras definiciones de la $a_{n{++}}:= f_{n} (a_n)$ va a redefinir el valor de $a_0$, debido Axioma 2.3.) Ahora supongamos inductivamente que el procedimiento da un valor único a $a_n$. A continuación, le da un valor único a $a_{n{++}}$, es decir,$a_{n{++}}:= f_{n} (a_n)$. (Ninguna de las otras definiciones de la $a_{m{++}}:= f_{m} (a_{m})$ va a redefinir el valor de $a_{n{++}}$, debido Axioma 2.4.) Esto completa la inducción, y por lo $a_n$ se define para cada número natural $n$, con un valor único asignado a cada una de las $a_n$.
