La descomposición de Iwasawa es una prueba única

Question

Descomposición de Iwasawa (caso especial): Que $G=SL_n(\Bbb{R})$ , $K=$ matrices unitarias reales, $U=$ matrices triangulares superiores con $1$ en la diagonal (llamada unipotente ), y $A=$ matrices diagonales con elementos positivos ( $0$ en todos los demás lugares). Luego, el mapa de productos $U\times{A}\times{K}\rightarrow{G}$ dado por $(u,a,k)\mapsto{uak}$ es una bendición.

Ya he probado la supervivencia de este mapa por mí mismo, sin embargo, al ver la prueba de Lang (Undergraduate Algebra Section 6 Chapter 4 pg246) de la singularidad de este mapa me quedé bastante atascado y me gustaría entenderlo. Lang afirma lo siguiente:

"Por la singularidad de la descomposición, si $g=uak=u'a'k'$ que $u_1=u^{-1}u'$ así que usando $g^tg$ (¿qué quiere decir con "usar"?) tienes $a^{2t}u_1^{-1}=u_1a'^2$ . Estas matrices son triangulares inferiores y superiores respectivamente, con diagonales $a^2,a'^2$ así que $a=a'$ y finalmente $u_1=I$ probando su unicidad".

¿Qué quiere decir Lang con "usar $g^tg$ (Supongo que se refiere a la aplicación $g^tg$ a ambos lados, pero no está claro...), y por lo tanto, ¿cómo "consigue $a^{2t}u_1^{-1}=u_1a'^2$ .

Gracias.

Answer 1

Si escribes $gg^t$ tienes $$ gg^t=uakk^tau^t=ua^2u^t. $$ De la misma manera, $$ gg^t=u'a'^2u'^t. $$ Si equiparas ambas expresiones, obtienes $$ ua^2u^t=u'a'^2u'^t. $$ Multiplicar por $u^{-1}$ a la izquierda y por $(u'^t)^{-1}$ a la derecha para conseguir $$ a^2(u'^{-1}u)^t = u^{-1}u' a'^2. $$ Así que dejar $u_1=u^{-1}u'$ , $$ a^2u_1^{-t}=u_1a'^2 $$ donde $u_1$ es el triángulo superior.