Convergencia de funciones uniformemente continuas a una función uniformemente continua

Question

Decir $f_n,f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son uniformemente continua de las funciones de una $f_n\to f$ pointwise.

Es la convergencia nessecarily uniforme?

No podía encontrar un contra-ejemplo para este caso, así que he intentado probarlo :

Tenemos $|f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon/3$ todos los $|x-y|<\delta_1$, también se $|f(x)-f(y)|<\epsilon/3$$|x-y|<\delta_2$, y para todos los $n>N_x$ tenemos $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon /3$.

En general para cualquier $|x-y|<\delta=min(\delta_1,\delta_2)$ y cualquier $n>N_x$ tenemos $|f_n(y)-f(y)|\leq |f_n(y)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f(y)|<\epsilon $ cualquier $y\in (x-\delta,x+\delta)$ cualquier $x\in A\subset\mathbb{R}$.

Ahora si $A$ es compacto, tenemos una portada de $A$ y podemos elegir de un número finito de subcover $U$, y tome $N=max\{N_x|x\in U\}. $, y para todos los $n>N$ tenemos $|f_n(y)-f(y)|<\epsilon$ uniformemente .

Sin embargo, si la prueba es correcta sólo he probado convergencia uniforme en compactos grupos, y no en el número completo de la línea. Puede mi prueba ser modificado de modo que podemos obtener convergencia uniforme en $\mathbb{R}$? O es que alguien puede proporcionar un contraejemplo en el que falla en este caso?

Edit: Gracias a los contra-ejemplos en las respuestas puedo ver mi prueba es falsa. Puede alguien señalar dónde está mi prueba de falla?

Answer 1

Daré un ejemplo sobre$\mathbb{R}$. Toma la secuencia$f_n(x)=\frac{x}{n}$. Todas las funciones son uniformemente continuas, la función límite es la función cero que también es uniformemente continua. Pero digo que no hay una convergencia uniforme aquí. Tomar $\epsilon=1$. Para cualquier índice$n_o\in \mathbb{N}$, puede tomar$n=n_0+1$ y$x=2n$ y obtendrá$|\frac{x}{n}-0|=2 \geq 1=\epsilon$. Por lo tanto, no hay convergencia uniforme.

Answer 2

La respuesta es no. Para construir un contraejemplo, consideramos$f_{n}(x)=\frac{nx}{1+(nx)^{2}}$ y$f(x)=0$ en el intervalo [0,1]. Obviamente, son todas funciones continuas definidas en un subconjunto compacto de eje real, por lo tanto, todas son uniformes continuas. También es fácil verificar que las series {fn (x)} convergen punto por punto a f (x). Sin embargo, dado que para cada n, fn (x) alcanza su máximo 1/2 en x = 1 / n, entonces la convergencia no es uniforme.

Answer 3

No. Deje$f_n(x) = x^n$ en$[0,1]$. Luego, dado que las funciones continuas son uniformemente continuas en los conjuntos compactos,$f_n$ son uniformemente continuas y convergen puntualmente a$\textbf{1}_{\{1\}}$, pero la convergencia no es uniforme.