¿Hay alguna condición necesaria o suficiente para cuando en un hexágono convexo general, las líneas formadas al unir los puntos medios de lados opuestos son concurrentes (se cruzan en un punto común)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
timon92
Puntos
805
Por favor, eche un vistazo en el problema 21 en este pdf.
- Deje $ABCDEF$ ser un hexágono convexo. Si el área de $ACE$ es igual al área de la $BDF$, a continuación, las líneas uniendo los puntos medios de los lados opuestos coinciden.
Si recuerdo correctamente, la igualdad de estas áreas es también una condición necesaria.
La prueba utiliza problema 10 en el mismo pdf.
- Deje $ABCD$ ser un cuadrilátero convexo. Deje $AC$ se cruzan $BD$$E$. Deje $P$ se encuentra dentro de $ABCD$ de manera tal que el área de $BCP$ es igual al área de la $DAP$. Demostrar que los puntos medios de $AB$, $CD$ y $EP$ son colineales.
Ahora, permítanme esbozar una prueba de 21.
Deje $K,L,M,N,O,P$ ser los puntos medios de $AB, BC, CD ,DE, EF, FA$, respectivamente. Deje $KN$ se cruzan $LO$$Q$. Deje $S$ ser el punto medio de la $EB$. Usamos la notación $[\mathcal F]$ para denotar el área de $\mathcal F$. Entonces $$[KLS] = \frac 14 [ACE] = \frac 14 [BDF] = [SNO].$$ El uso de 10. tenemos que los puntos medios de $QS, KO, LN$ son colineales. Denotamos puntos por $X,Y,Z$, respectivamente. Tenga en cuenta que $PKSO$ $MLSN$ son paralelogramos, por lo $Y$ $Z$ son puntos medios de $SP$$SM$, respectivamente. El homothety centrado en $S$ y la ratio de $2$ mapas de $X,Y,Z$$Q,P,M$. De ello se desprende que $PM$ pasa a través de $Q$ y hemos terminado.
Por lo tanto, todo se reduce a probar la tesis del problema 10. Para demostrarlo, se puede adaptar un argumento de este post.
