¿Descomposición de Peirce de anillo: los generadores ideales debe idempotente en característica 2?

Question

Estoy considerando esta declaración en particular de la descomposición de Peirce de un anillo:

Si un conmutativa unital anillo de $R$ puede ser escrito como un interno de la suma directa de dos de lo que es propio de los ideales de la $I$$J$, lo $R = I \oplus J$, entonces existe un elemento idempotente $e \in R$ tal que $I = eR$$J = (1-e)R$.

Desde $R$ es una suma directa interna de $I$$J$, hay algunos $e \in I$ $f \in J$ tal que $e+f=1$ (a continuación,$f = 1-e$). ¿Cómo se puede demostrar que $e$ es idempotente, aunque? He escrito que \begin{align*} e+f &= 1 \\(e+f)^2 &= 1^2 \\e^2+f^2 &= 1 \qquad \text{since %#%#% because %#%#%} \\e^2 + (1-e)^2 &= 1 \\e^2 + 1 -2e + e^2 &= 1 \\2e^2 -2e &= 0 \end{align*}

Y esto implica que $ef=0$ es idempotente si la característica de que el anillo no es $IJ = 0$! Es allí una manera de probar la $e$ es idempotente que evita esta pequeña pega?

Answer 1

Sólo observar lo significa de que $ef=0$ $e(1-e)=0$ $e-e^2=0$ y $e^2=e$.

Answer 2

No, no tiene nada que ver con el característico $2$. Las representaciones de elementos como $i+j$ en una suma directa son necesariamente únicas (es decir una forma equivalente de decirlo.)

Así que a seguir de lo que escribiste, desde $e^2\in I$ y $f^2\in J$ y $e+f=e^2+f^2$, tenemos, necesariamente, $e=e^2$ y $f=f^2$.

Es otra forma, no tan directa como de Eric pero todavía útil saber.