En la cuarta edición de "Introducción al análisis real" de Bartle y Sherbert, el teorema 6.2.3 (teorema de Rolle) establece,
Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado $I := [a, b]$ , la derivada de $f$ existe en cada punto del intervalo abierto $(a, b)$ y que $f(a) = f(b) = 0$ . Entonces existe al menos un punto $c$ en $(a, b)$ tal que la derivada de $f$ es cero en $c$ .
Ahora, ¿por qué estamos tomando $f(a)=0=f(b)$ ? Es $f(a)=f(b)$ ¿no es suficiente?
Tienes razón. $f(a) = f(b)$ es suficiente.
Pero, se puede demostrar el teorema en este escenario general utilizando el teorema para el caso $f(a) = 0 = f(b)$ como sigue:
Supongamos que el teorema de Rolle, tal como se indica en los detalles de la pregunta, es cierto. Sea $f$ sea una función que satisfaga las mismas hipótesis, salvo que $f(a) = f(b) = k$ donde $k$ no es necesariamente igual a cero. Entonces, la función $g(x) = f(x) - k$ cumple las hipótesis del teorema de Rolle, por lo que existe un punto $c$ tal que $g'(c) = 0$ . Pero $g'(c) = f'(c)$ Así que hemos terminado.
Por lo tanto, no importa realmente cuál utilicemos, ya que ambas versiones se consideran equivalentes entre sí.
Si por "enunciado correcto" OP entiende "más general", entonces no necesitamos que f(a),f(b) sean iguales a cero. Mejor enunciado en el más general. Y el Teorema de Rolle no siempre trata de raíces (f(a)=f(b)=0). La versión que me enseñaron era simplemente una formalización de que entre dos puntos con igual valor y, hay un pico con derivada cero.
Sí, tienes razón: $f(a)=f(b)$ es suficiente. Sin embargo, es habitual añadir la condición $=0$ después de $f(a)=f(b)$ de modo que el teorema se convierte en: entre dos raíces de $f$ hay una raíz de $f'$ que es el teorema original debido a Michel Rolle (que lo enunció sólo para polinomios).
De todos modos, esto es discutible, ya que ambas afirmaciones no son más que un caso particular del Teorema del Valor Medio.
Por otra parte, la forma habitual de demostrar el teorema del valor medio es aplicando el teorema de Rolle. Dependiendo de lo que se entienda por trabajar con derivadas, el paso de la teoría general ( $f(a) = f(b)$ pero no necesariamente $=0$ ) de Rolle al Teorema del Valor Medio no es mucho mayor que a partir de la " $f(a) = f(b)=0$ " de Rolle a la general.
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Si por "enunciado correcto" quieres decir "más general", entonces no necesitamos que f(a),f(b) sean iguales a cero.