Cualquier subgrupo que contenga un subgrupo de conmutadores es normal.

Question

Puedo probar que el conmutador es un subgrupo mínimo tal que el grupo de factor de él es abeliano. Me he encontrado con una afirmación como

Si $H$ es un subgrupo que contiene un subgrupo de conmutadores, entonces $H$ es normal.

Es decir, tenemos que mostrar que $ \forall g \in G$ de tal manera que $gHg^{-1}=H$ con el hecho de que $G' \subset H$

Es para los elementos en $G'$ para mostrar la condición de normalidad.

Pero cómo hacer para los elementos que no están en $G'$ pero en $H$ que en $H/G'$ ?

Answer 1

Si $g\in G$ y $h\in H$ Entonces $ghg^{-1}h^{-1}=h'$ para algunos $h'\in H$ (ya que $H$ contiene el subgrupo del conmutador). Pero entonces $ghg^{-1}=h'h\in H$ . Por lo tanto, $gHg^{-1}\subset H$ .

Answer 2

$G'$ es ciertamente normal en $G$ y $G/G'$ es Abeliano. Cada subgrupo de un grupo Abeliano es normal. Pero $H/G'$ es un subgrupo de $G/G'$ así que $H/G'$ es normal en $G/G'$ . Por lo tanto, para el tercer teorema del isomorfismo para grupos, $H$ es normal en $G$ .