Trabajamos con los campos de números, tales como $\Bbb Q$, el campo de los números racionales, $\Bbb R$, el campo de los números reales, y $\Bbb C$, el campo de los números complejos. ¿Qué es un campo? Es un conjunto en el que dos invertible de las operaciones de la adición y la multiplicación - interactuar. Álgebra básica es simplemente el estudio de la interacción.
¿Qué es una función lineal definida en uno de estos campos? Es una función que es compatible con las dos operaciones. Si $f(x+y)=f(x)+f(y)$, e $f(cx)=cf(x)$, entonces la totalidad del dominio, antes y después de aplicar el $f$, es estructuralmente conservado. (Que es tan largo como $f$ es invertible, estoy restar importancia a algunos detalles.) Esencialmente, una función es simplemente tomar el campo y escalado, posiblemente voltearla. En el campo complejo, el panorama es un poco más.... complejo, pero fundamentalmente el mismo.
El más intuitivo espacios vectoriales - finito dimensionales en nuestro familiar campos - son básicamente de varias copias de la base de campo, en "ángulos rectos" el uno al otro. Invertible funciones lineales ahora acaba de escala, de reflexionar, de rotación y de cizallamiento de esta idea básica, pero preservar la estructura algebraica de espacio.
Ahora, a menudo trabajamos con las transformaciones que hacer cosas más complicadas que esta, pero si son lisas transformaciones, a continuación, que "parezca" transformaciones lineales cuando "zoom in" en cualquier punto. Para analizar algo complicado, usted tiene que simplificar de alguna manera, y una buena manera de simplificar el trabajo con alguna extraña no-lineal de la transformación es describir y estudiar las transformaciones lineales que "se parece" de cerca.
Esta es la razón por la que vemos lineal los problemas surgen con tanta frecuencia. Algunas situaciones se modelan mediante transformaciones lineales, y eso es genial. Sin embargo, incluso en situaciones de modelado no lineal de las transformaciones a menudo son aproximados con adecuada lineal mapas. La primera y más duro que la forma de aproximar una función es constante, pero no obtener una gran cantidad de kilometraje de que. El próximo aficionado enfoque es el aproximado con una función lineal en cada punto, y nos hacen obtener una gran cantidad de kilometraje de que. Si usted desea hacer mejor, se puede utilizar una aproximación cuadrática. Éstos son grandes para describir, por ejemplo, puntos críticos de multi-funciones variables. Incluso el cuadrática descripción, sin embargo, utiliza las herramientas de álgebra lineal.
