Sé que puede parecer una estupidez, pero es que me lo estoy preguntando de verdad....
$$\frac ab\times\frac1c=\frac a{bc}$$ donde $b,c\ne0$ .
¿Cómo podemos multiplicar numeradores por numeradores y denominadores por denominadores?
¿Es sólo una regla? ¿O se puede demostrar?
Se puede pensar que la multiplicación significa "de". Entonces, ¿qué es $2/5$ de $3/7$ (por ejemplo)?
Dibuja un pastel (un pastel rectangular) cortado en 7 rebanadas verticales iguales, con $3$ de esas rebanadas con glaseado rojo. Eso es $3/7$ de la tarta.
Coge esos 3/7 del pastel y córtalo horizontalmente en 5 trozos iguales, y echa chispitas en 2 de esos 5 trozos. (Cuando estés haciendo el corte horizontal, corta todo el pastel horizontalmente mientras lo haces).
La porción de la torta con chispas es 2/5 de 3/7. Pero si haces el dibujo, ves que el pastel ha sido cortado en 35 trozos iguales (5 grupos de 7), y 6 de esos 35 trozos tienen chispitas. Por lo tanto, $$ \frac{2}{5} \text{ of } \frac{3}{7} = \frac{2 \times 3}{5 \times 7}. $$
Este proceso consta de tres pasos
Los pasos 1 y 2 se pueden hacer de muchas maneras diferentes, y para cada combinación, el paso 3 se hará de manera diferente.
¡Gran pregunta! La respuesta corta a esto: funciona porque lo definimos así. (Supongo que estamos hablando de la multiplicación de números racionales)
Sin embargo, nos preocupa si la operación es bien definido . Significa que el resultado $$\frac{a}{b} \cdot \frac{x}{y} = \frac{ax}{by} $$ no debe depender de la elección de las fracciones. No puede ser que esta igualdad se mantenga para algunas fracciones, pero no para otras. Eso haría que la operación mal definido .
Sin embargo, el proceso de verificación es bastante complicado, especialmente para la multiplicación.
En una búsqueda rápida encontré este que cubre todas las necesidades.
Para dar un giro ligeramente diferente a este problema. La intuición nos permite definir ciertas operaciones. Otras respuestas dan una explicación intuitiva de por qué la multiplicación de dos fracciones produce una determinada fracción. Utilizamos estas intuiciones para definir cómo se comporta la multiplicación de dos fracciones. Pero para estar absolutamente seguros de que no nos hemos equivocado, también debemos verificar que la operación está bien definida y eso está fuera del alcance de la intuición.
Esta idea de la buena definición es muy importante en las matemáticas, no sólo como un seguro para que la suma y la multiplicación de los números (racionales) sean a prueba de balas.
Como señala @Arthur, entender por qué las fracciones se multiplican como lo hacen depende de entender qué es una fracción. Es una cuestión sutil.
Hay formas de responder a tu pregunta en particular si eliges pensar en las fracciones como lo que obtienes cuando cortas tartas, pero creo que la mejor manera comienza con definir (pensar en) $1/x$ como el número $?$ que resuelve la ecuación $$ ? \times x = 1 . $$ Entonces puedes utilizar las reglas ordinarias de la aritmética para demostrar que el lado izquierdo de tu ecuación es una solución de la ecuación $$ ? \times bc = a $$ y por lo tanto debe ser igual a $a/(bc)$ .
Relacionado ¿Cómo dar sentido a las fracciones?
Así es como hemos elegido (en la mayoría de los casos, en todo caso) definir la multiplicación de números racionales $\mathbf Q.$ Y se puede demostrar que funciona (con esto quiero decir que es una operación binaria bien definida sobre $\mathbf Q$ ). Por supuesto, esta definición tiene algo de intuición sobre cómo deben comportarse los números racionales bajo la multiplicación. Sin embargo, todo esto se puede ver con bastante claridad mediante un desarrollo del sistema $\left(\mathbf Q, \times \right)$ de los números naturales $\mathbf N:=\{0,1,2,3,\ldots\}$ y la operación $\times$ definidos sobre ellos de la manera recursiva habitual que finalmente se reduce a la función sucesora primitiva. Sin embargo, puede haber otras formas de llevar a cabo este desarrollo, pero creo que ésta es la que más se ajusta a la intuición.
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Esta pregunta dice lo que he dicho en mi respuesta. No he visto ningún comentario de OP que dice que quiero esto. Todas las personas dicen sus pensamientos sin lo que el OP realmente quería.
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@user108128 Me parece que dejas una impresión equivocada al lector. Dices que es simplemente un axioma y todo eso como diciendo que los axiomas no se pueden cuestionar, así son las cosas, acostúmbrate, etc. Sí, los axiomas son algo que consideramos verdadero, por lo tanto no requieren demostración, pero sin duda podemos cuestionar que algunas nociones u operaciones estén bien definidas. Creo que esa es la pregunta que hay que hacerse en este tema aunque el OP no se dé cuenta. No quiero ofender a nadie.
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@axiac Tienes 40k rep en stackoverflow, seguro que tu mismo has obtenido muchos conocimientos leyendo respuestas en la red stackexchange. Sé que lo hago todo el tiempo, ha sido invaluable para mí.