Dimensiones de las inmersiones frente a las incrustaciones

Question

Digamos que tienes un colector que sabes que se puede sumergir en $\mathbb{R}^n$ . ¿Existe una $k$ de tal manera que se puede decir, con seguridad, que el colector está incrustado en $\mathbb{R}^{n+k}$ ? Imagino que lo hay y que es un conocimiento común, pero buscando en google no me ha salido nada. ¡¡¡Gracias de antemano!!!

Answer 1

Esto no es ni de lejos una respuesta. Sólo estoy lanzando algunas ideas por ahí. Espero que esto inspire a otros a escribir mejores resultados.

Supongo que el dominio está cerrado. Siempre podemos tomar $k \leq n-2$ . Un camino para intentar obtener límites inferiores en $k$ es encontrar variedades que se sumerjan en espacios de pequeña dimensión pero que se incrusten sólo en espacios de gran dimensión. Como intento de ello, se ha desarrollado un $n$ -manifold se sumerge por la teoría de inmersión de Smale-Hirsch en $\Bbb R^{n+1}$ ¿hasta qué punto se puede forzar la dimensión de la incrustación? Se conjetura que todo paralelizable $n$ -manifold se incrusta en $\Bbb R^{3n/2}$ Así que ciertamente ningún ejemplo conocido puede superar $k = (n-3)/2$ a través de este enfoque. Apuesto, pero no me he esforzado mucho en encontrar colectores paralelizables que alcancen (aproximadamente, al menos) este límite.

Los espacios proyectivos reales probablemente dan buenos límites en $k$ . Los espacios proyectivos complejos no.

Otro enfoque es utilizar el teorema de inmersión de Cohen, que dice que cada $n$ -manifold se sumerge en $\Bbb R^{2n-\alpha(n)-1}$ , donde $\alpha(n)$ es el número de 1s en la expansión binaria de $n$ Pero esta no es una línea de ataque particularmente fructífera, porque lo mejor que podemos obtener de esto es $k \geq \alpha(n)+1$ . Esto es lamentablemente pequeño, mucho más pequeño que el enfoque anterior.

Veamos ahora algunos ejemplos de pequeñas dimensiones. Para $n=1, 2$ la respuesta es obviamente $k=0$ . Para $n=3$ todo lo que tenemos son superficies, que se incrustan en $\Bbb R^4$ Así que $k(3)=1$ . Para $n=4$ tenemos los 3 manifolds, que famosamente todos se incrustan en $\Bbb R^5$ . Así que $k(4) = 1$ .

Supongamos que un 4manifold se sumerge en $\Bbb R^5$ . Entonces, si $M$ es orientable, vemos que su haz tangente tiene clases características triviales, incluyendo su clase de Euler y (¡lo más importante!) la clase de Pontryagin. (Normalmente sólo se podría decir que su clase de Pontryagin es de 2 torsiones, pero $H^4(M;\Bbb Z)$ no tiene torsión). Esto implica que su firma es cero, y Cappell y Shaneson demostraron que se incrusta suavemente en $\Bbb R^6$ . Danny Ruberman da una prueba aquí . Para el caso no orientable, una simple manipulación de la clase Stiefel-Whitney muestra que (si $\nu$ es el haz normal a la inmersión en $\Bbb R^5$ ) que $w_1(\nu) = w_1(M)$ y $w_2(M) = w_1(M)^2$ . Esto implica que el haz normal estable de $M$ tiene $w_2(\nu) = 0$ mediante más manipulaciones algebraicas. Ahora bien, es probable que tal colector se incruste en $\Bbb R^6$ pero no parece que se conozca: véanse algunos avances parciales en este documento de Fang. En particular, podemos conjeturar con seguridad que $k(5) = 1$ .

No es difícil encontrar ejemplos de 5-manifolds que se sumergen en $\Bbb R^6$ pero sólo se incrusta en $\Bbb R^8$ . Me parece probable que $k(6) = 3$ pero no han puesto mucho empeño en escribir o encontrar una prueba.

Answer 2

El teorema de Whitney establece que: en $M$ tiene dimensión $n$ entonces se puede incrustar en $\mathbb{R}^{2n+1}$ . Una versión más fuerte asegura que $M$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}^{2n}$ .