Consistencia y afine equivariance

Question

Denotar

$$\pmb x_i\sim\mbox{Ell}(\pmb 0,\pmb\varSigma)|i=1,\ldots,n$$

con $\pmb\varSigma$ simétrica positiva definida y $\mbox{Ell}(\pmb 0,\pmb\varSigma)$ denota una $p$ varia de distribución elíptica. Denotar $\pmb X_n=\{\pmb x_1,\ldots,\pmb x_n\}$ $\pmb A(\pmb X_n)$ un estimador de la dispersión calculada en $\pmb X_n$.

En la página 217 de Estadísticas Robustas: Teoría y Métodos los autores demuestran que afín equivariance de $\pmb A(\pmb X_n)\implies$ consistencia de $\pmb A(\pmb X_n)$ $\pmb\varSigma$ en el sentido de que:

$$\pmb A(\pmb X_\infty)=c\pmb\varSigma$$

Ahora, me pregunto si esto $\implies$ no es un $\iff$: ingenuamente supongamos que tengo un estimador $\pmb B(\pmb X_n)$ que no es afín a equivariant para que $\pmb B(\pmb C\pmb X_n)\neq \pmb C\pmb B(\pmb X_n)\pmb C'$, no implica esto que cualquiera de las $\pmb B(\pmb X_n)$ debe ser inconsistente $\pmb\varSigma$ o que $\pmb B(\pmb C\pmb X_n)$ es incompatible para $\pmb C\pmb \varSigma\pmb C'$?

Answer 1

Para un contraejemplo considerando una secuencia unidimensional, $x_i\sim \mathcal N(0, \sigma^2)$, y que $S$ ser la varianza muestral

$$S(x_1, \ldots, xn) = \frac{1}{n}\sum{i=1}xi^2 - \left(\frac{1}{n}\sum{i=1}^n x_i\right)^2.$$

Conjunto de $B=S$ excepto que $B=0$ cuando $|x_1+x_2+\cdots+x_n| \lt 1$. Aunque $S$ es equivariante, $B$ obviamente no es, porque reescalado $x_i$ sea suficientemente pequeño se convertirá un valor seguramente positivo de $S$ en un valor de cero. Sin embargo, casi con toda seguridad el límite de $B(x_1, \ldots, x_n)$ será igual a $\sigma^2$ debido a la posibilidad de que $B=0$ está limitado anteriormente por $\frac{1}{n}\sqrt{2/\pi}\to 0$.

Answer 2

Que $B(X_n)$ ser un estimador equivariante afín. Que $A(X_n) = B(X_n) k(B(X_n))$ $k$ Dónde está una función escalar como la traza. Entonces $A$ es equivariante consistente pero no afine. Esto se llama una covarianza débil funcional.