Lagrangiano para un oscilador con amortiguación dependiente de la posición

Question

Me pregunto si la ecuación de movimiento de un oscilador con amortiguación (dependiente de la posición) \begin{equation*} \ddot{x}+\gamma(x)\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 \end {ecuación *} puede derivarse directamente de un Lagrangiano amortiguado.

Claramente, si$\gamma$ no depende de la posición, lagrangiana amortiguada en función del tiempo$$\mathcal{L}(x,\dot{x},t)=e^{\gamma t}/2(\dot{x}^{2}-\omega_{0}^{2}x^{2})$$ would do the job. Alternatively, the above equation can be derived by introducing the dissipation function $$Q(x,\dot{x})=-\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\dot{x}},$$ where $$\mathcal{F}(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\gamma(x)\dot{x}^{2}.$ $

Answer 1

TL;DR: Sí, una formulación variacional existe localmente si la variable $x$ 1-dimensional (en lugar de multi-dimensional).

Uno puede volver a escribir cualquier segundo orden ODE (como OP moe) como 2 acoplados de primer orden OPEs $$ \dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y).\tag{1}$$ De manera más general, una formulación variacional existe localmente para cualquier sistema de la forma (1).

Esbozó existencia de la prueba:

1. Esto se explica en la parte II de mi Phys.SE contesta aquí que existe localmente una formulación Hamiltoniana $$ \dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\}\tag{2}$$ del sistema (1).

2. Una estructura de Poisson en 2 dimensiones está totalmente determinado por una función única $$B(x,y)~:=~\{x,y\}.\tag{3}$$

3. La correspondiente simpléctica 2-formulario de $$\omega~=~\frac{1}{B}\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x~=~\mathrm{d}\theta\tag{4}$$ is locally exact, where $$\theta~=~a(x,y)~\mathrm{d}x+b(x,y)~\mathrm{d}y\tag{5}$$ es un simpléctica potencial 1-forma.

4. El de Hamilton, las ecuaciones (2) son las de Euler-Lagrange (EL) ecuaciones de la siguiente Hamiltoniano de Lagrange: $$L_H~:=~a\dot{x}+b\dot{y}-H . \tag{6}$$ $\Box$

Tenga en cuenta que el Lagrangiano (6) no depende explícitamente del tiempo.