Vas a pedir dos pizzas. Una pizza puede ser pequeña, mediana, grande o extra grande, con cualquier combinación de 8 ingredientes posibles (está permitido no pedir ningún ingrediente, así como pedir los 8). ¿Cuántas posibilidades hay para tus dos pizzas?
¿Sería ${\large[}4{\large[}{8\choose8}+{8\choose7}+{8\choose6}+{8\choose5}+{8\choose4}+{8\choose3}+{8\choose2}+{8\choose1}+{8\choose0}{\large]}{\large]}^2$
Tiene razón si el orden en el que se adquieren las pizzas es importante. Lo que hay dentro de los corchetes exteriores (que equivale a $4 \cdot 2^8=1024$ ) es el número de pizzas individuales. Parece más probable que obtener la pizza A y luego la B sea lo mismo que obtener la B y luego la A. En ese caso hay que dividir los casos de pizzas dispares por $2$ , por lo que habría $1024$ (formas de conseguir dos iguales) + $\frac 12\cdot 1024 \cdot 1023$ (formas de conseguir dos diferentes).
Puede ahorrarse la computación de todos los $8 \choose n$ 's al notar que tienes ocho opciones binarias para hacer, una para cada cobertura. Puedes hacerlas en $2^8$ formas, por lo que da la suma de todas las $8 \choose n$ 's
Obsérvese que este es el problema 14 del capítulo 1 de Introducción a la Probabilidad de Blitzstein y Hwang.
El problema equivale a un muestreo con reemplazo en el que el orden no importa, que es similar al problema 13 en y la pista allí (usar Bose Einstein) se aplica aquí también. Esto también se conoce como el método de "estrellas y barras".
Imagine un formulario de pedido con $4 \times 2^8$ = 1024 columnas para cada tipo de pizza. Con 2 pizzas hay $\binom{1024+2-1}{2}$ = $\binom{1025}{2}$ pedidos únicos.
Dejemos que $i$ sea el número de ingredientes que desea incluir en su pizza, donde $0 \leq i \leq 8$ .
La elección de una pizza podría calcularse de la siguiente manera, $$4\sum\limits_{i=0}^8 {8\choose i} = 4\cdot2^8$$
Para calcular el número de posibilidades, contaré el número de formas en que se puede comer la misma pizza más el número de formas en que se pueden comer dos pizzas diferentes:
Las posibilidades de elegir la misma pizza es igual al número de posibilidades diferentes de una pizza, es decir $$4\sum\limits_{i=0}^8 {8\choose i} = 4\cdot2^8$$
Contando las posibilidades de dos pizzas diferentes de la siguiente manera, $$\frac{\Bigg[4\sum\limits_{i=0}^8 {8\choose i}\Bigg]\cdot \Bigg[\Bigg(4\sum\limits_{i=0}^8 {8\choose i}\Bigg)-1\Bigg]}{2}$$
$$= \frac{(4\cdot 2^8)\cdot(4\cdot 2^8 -1)}{2}$$
Estás dividiendo por dos, ya que el orden en el que eliges las pizzas no es relevante.
En total, eso le da $$(4\cdot 2^8) + \frac{(4\cdot 2^8)\cdot(4\cdot 2^8 -1)}{2} = 524800$$ posibilidades para dos pizzas.
Hay 4 opciones posibles para el tamaño de las pizzas
y las diferentes combinaciones de todos los ingredientes de la pizza es el conjunto de potencia de 8 que es $2^8$
por lo que la cantidad de posibilidades es $4 \times 2^8$ para una pizza
las combinaciones para dos pizzas serían ( $4 \times 2^8)^2$ esto equivale a su respuesta
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También, $ncr(x,0) + ncr(x,1) + ... + ncr(x, x-1) + ncr(x,x) = 2^x$ para valores enteros no negativos de $x$ . (Y posiblemente otros, en realidad no lo sé).