Demostrar eso si $r\overrightarrow {X}=\overrightarrow {0}$, entonces sea $r=0$ o $\overrightarrow {X}=\overrightarrow{0}$

Question

Supongamos $\overrightarrow{X}\in{\bf R}^2$$r\in{\bf R}$. Mostrar que si $r\overrightarrow {X}=\overrightarrow{0}$, entonces cualquiera de las $r=0$ o $\overrightarrow {X}=\overrightarrow{0}$.

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[Intento:]

Deje $\overrightarrow {X}=\left( \begin{matrix} a\\ b\end{matrix} \right)$. Suponga $r\neq 0$. A continuación,

$r\overrightarrow {X}=\overrightarrow {0}$,

$\overrightarrow {X}=\dfrac {1} {r }\overrightarrow {0}$,

$\left( \begin{matrix} a\\ b\end{matrix} \right)=\dfrac {1} {r }\left( \begin{matrix} 0\\ 0\end{matrix} \right)$,

$\left( \begin{matrix} a\\ b\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \dfrac {1} {r }0\\ \dfrac {1} {r }0\end{matrix} \right)$,

$\left( \begin{matrix} a\\ b\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0\\ 0\end{matrix} \right)$.

Por lo tanto, tenemos $a=0$$b=0$, $\overrightarrow {X}=\overrightarrow {0}$.

Ahora, suponga $\overrightarrow {X}\neq\overrightarrow {0}$. Vamos a mostrar que el $r=0$. A continuación,

$r\overrightarrow {X}=\overrightarrow {0}$,

$\left( \begin{matrix} r a\\ r b\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0\\ 0\end{matrix} \right)$. Desde $a\neq 0$$b\neq 0$, obtenemos $r=0$.

Así, hemos terminado.

Puede usted comprobar mi prueba?

$$ \newcommand{\Vec}[1]{\overrightarrow{#1}} $$

Answer 1

Esto es en abstracto para cualquier espacio del vector $\mathbf V$ sobre cualquier campo $\Bbb F$ directamente de los axiomas. Pues si

$r \vec X = 0 \tag 1$

$0 \ne r \in \Bbb F$ y $\vec X \in \mathbf V$, y $\exists r^{-1} \in \Bbb F$ y así

$\vec X = 1_{\Bbb F} \vec X = (r^{-1}r)\vec X = r^{-1}(r \vec X) = r^{-1} (0) = 0; \tag 2$

la representación de la componente de $\vec X$ no es necesario aquí.

P S. Liiks prueba de la OP bien, excepto un sólo necesidades $(a = 0) \vee (b = 0)$ cerca del final, no $(a = 0) \wedge (b = 0)$.

Answer 2

Este es un axioma para espacios vectoriales en general, independientemente de la dimensión del espacio vectorial.

Pero si usted debe probarlo, creo que hay una manera más fácil, trabajando a la inversa:

Considerar ambos casos.

Que $r=0$

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Entonces $r\vec X=0\vec X=(0+0)\vec X=0\vec X+0\vec X=\color{red}{\vec 0+\vec 0=\vec 0}$

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Que $\vec X=\vec 0$

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Entonces $r\vec X=r\vec 0=r(\vec 0+\vec 0)=r\vec 0+r\vec 0=\color{red}{\vec 0+\vec 0=\vec 0}$

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$\color{red}{red}$ Es donde el hecho en la expresión original

Answer 3

La prueba es correcta. Como han demostrado eso suponiendo de $\vec{X}=\vec{0}$ $r\neq 0$, el resto de su obra son redundantes.