Un rompecabezas de probabilidad sobre los pueblos de montaña

Question

Espero que este rompecabezas sea de algún interés.

Los pueblos de montaña $A,B,C$ y $D$ se encuentran en los vértices de un tetraedro, y cada par de pueblos está unido por una carretera. Después de una nevada, la probabilidad de que cualquier carretera esté bloqueada es $p$ y es independiente de las condiciones de cualquier otra carretera. La probabilidad de que, después de una nevada, sea posible viajar de cualquier pueblo a cualquier otro por alguna ruta es $P$ .

¿Qué es? $P$ en términos de probabilidad $p$ ?

Answer 1

Supongamos que $K_4$ en lugar de un tetraedro real, ya que estoy imaginando algunas avalanchas serias aquí. :-)

Hay seis caminos en total. Si a lo sumo dos carreteras están abiertas, entonces no se puede llegar a al menos una aldea, ya que dos carreteras sólo pueden conectar tres aldeas. Si a lo sumo dos carreteras están cerradas, entonces se puede llegar a todos los pueblos, ya que no hay dos carreteras que puedan aislar un pueblo.

Por lo tanto, los únicos casos interesantes son cuando tres carreteras están cerradas y tres abiertas. Hay tres configuraciones posibles para tres carreteras abiertas: triángulo (cuatro configuraciones), Y (cuatro) y camino único (doce). De éstas, sólo la configuración en triángulo no consigue conectar todos los pueblos.

Así, la probabilidad de que los pueblos estén conectados es

\begin {align} P & = Pr( \text {al menos cuatro caminos están abiertos, o tres caminos están abiertos, no en formación de triángulo}) \\ & = \binom {6}{6}(1-p)^6 + \binom {6}{5}p(1-p)^5 + \binom {6}{4}p^2(1-p)^4 + (12+4)p^3(1-p)^3 \\ & = (1-p)^6+6p(1-p)^5+15p^2(1-p)^4+16p^3(1-p)^3 \\ & = 1-4p^3-3p^4+12p^5-6p^6 \end {align}

Si $p = 1/2$ por ejemplo, $P = 19/32$ .