$\mathbb{Z}_p$ es un espacio métrico completo en el que$\mathbb{Z}$ es denso

Question

No entiendo muy bien algunas partes de la prueba de la proposición $3$.

• ¿Qué se entiende por "los ideales $p^n\mathbb{Z}_p$ formulario de una base de vecindades de $0$"? Después de leer la definición de un barrio de base, estoy todavía incierto cuál es el mensaje aquí.
• ¿Por qué $\lim.y_n = x$ demostrar que $\mathbb{Z}$ es denso $\mathbb{Z}_p$? Yo pregunte en parte porque no estoy familiarizado lo que este límite de notación.

La notación.-Deje $x$ ser un elemento distinto de cero de a $\Bbb Z_p$; escribir $x$ en la forma$p^nu$$u\in\Bbb U$. El entero $n$ es el llamado p-ádico de valoración de $x$ y se denota por a $v_p(x)$. Ponemos a $v_p(0)=+\infty$ y hemos $$v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y),\quad v_p(x+y)\ge\inf(v_p(x),v_p(y))$$ It follows easily from these formulas that $\Bbb Z_p$ es una parte integral de dominio.

La proposición $\mathbf{3}.$-La topología en $\Bbb Z_p$ puede ser definido por la distancia $$d(x,y)=e^{-v_p(x-y)}\;.$$ The ring $\Bbb Z_p$ is a complete metric space in which $\Bbb Z$ es densa.

Los ideales $p^n\Bbb Z_p$ formulario de una base de vecindades de $0$; desde $x\in p^n\Bbb Z_p$ es equivalente a $v_p(x)\ge n$, la topología en $\Bbb Z_p$ está definido por la distancia a la $d(x,y)=e^{-v_p(x-y)}$. Desde $\Bbb Z_p$ es compacto, está completa. Por último, si $x=(x_n)$ es un elemento de $\Bbb Z_p$, y si $y_n\in\Bbb Z$ es tal que $y_n\equiv x_n\pmod{p^n}$,$\lim.y_n=x$, lo que demuestra que $\Bbb Z$ es denso en $\Bbb Z_p$.

(Imagen Original de texto aquí.)

Answer 1

<ol> <li><p>Esto significa que si usted toma cualquier subconjunto abierto $0\in U \subset\mathbb Z_p$, entonces $\exists n$ tal que $p^n\mathbb Z_p\subset U$, porque $p^n\mathbb Z_p=\{x:d(x,0)\le e^{-n}\}$. Se puede definir la topología por la métrica, pero no a la inversa, creo.</p></li> <li><p>No sé lo que significa este punto. Compruebe: $d(x, y_n)\le e^{-n}$, que $\lim d(x, y_n)=0$, por lo tanto $\lim y_n=x$.</p></li> </ol>

Answer 2

Una base para una topología es un conjunto $\mathcal B = \{U_i\}$ de abrir conjuntos tales que cualquier conjunto abierto $U$ puede ser escrito como una unión de elementos de $\mathcal B$. Es un conjunto que "genera la topología". El punto es que si tenemos un fácil comprender la base de nuestra topología, entonces podemos probar cosas acerca de la topología completa con sólo mirar a la base.

En este caso, queremos demostrar que la topología en $\mathbb Z_p$ pueden surgir a partir de una métrica. El primero punto es que desde $\mathbb Z_p$ es un topológico anillo (es decir, el grupo de acciones son continuas), sólo tenemos que mostrar esto para abrir los conjuntos que contengan $0$, ya que podemos traducir este resultado a otros puntos.

Para mostrar que esta métrica se define cada abierto barrio de $0$ directamente sería muy engorroso. Sin embargo, se puede demostrar fácilmente por la base $\{p^n\mathbb Z_p : n\in\mathbb Z_{\ge0}\}$; ya que todos los demás barrios de $0$ está formado por los sindicatos de base a esto, hemos terminado.

En cuanto a la segunda parte, para mostrar que $\mathbb Z$ es denso en $\mathbb Z_p$, tenemos que mostrar que el cierre de $\mathbb Z$ $p$- ádico topología es $\mathbb Z_p$. Una forma de hacer esto es para mostrar que cada elemento de a $y\in\mathbb Z_p$ es un límite de una secuencia en $\mathbb Z$. El límite de la notación aquí es simplemente decir que si escribimos $x=(x_n)\in \mathbb Z_p$ y elija $y_n \in \mathbb Z$ con $$y_n\equiv x_n\pmod {p^n},$$then$$\lim_{n\to\infty}y_n = x$$so that $x$ is indeed a limit of elements of $\mathbb Z$. The dot just seems to be some shorthand for $n\to\infty$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $p^n \mathbb{Z}_p$ están abiertos todos los subgrupos de $\mathbb{Z}_p$ (por lo tanto, abrir los subgrupos de $\mathbb{Q}_p$, ya que el $\mathbb{Z}_p$ está abierto en $\mathbb{Q}_p$), y $$\mathbb{Z}_p \supseteq p \mathbb{Z}_p \supseteq p^2\mathbb{Z}_p \supseteq \cdots \{0\}$$When they say "The ideals $p^n \mathbb{Z}$ form a basis of neighborhoods of $0$," what they mean is that given any open set $V$ containing $0$, you can find a large enough $n$ so that $p^n \mathbb{Z} \subseteq V$. It follows that open sets of the form $$x + p^n \mathbb{Z}_p$$ for $x \in \mathbb{Q}_p$ and $n \geq 0$ (translations of open sets are open) form a basis for the topology on $\mathbb{Q}_p$. Given any open set $V$, for each $v \V$ you can find a large number $n_v$ such that $v + p^{n_v} \mathbb{Z}_p \subseteq V$, and it follows that $$V = \bigcup\limits_{v \in V} v + p^{n_v} \mathbb{Z}_p$$ and actually, on account of the nonarchimedean metric, you can choose all those open sets to be disjoint (do you see why? For $n \geq 0$, $v + p^n \mathbb{Z}_p$ is literally the open ball with center $v$ and radius $\frac{1}{p^n}$, y cualquiera de los dos bolas son distintos o uno contiene al otro).

Si $X$ es un espacio métrico y $A \subseteq X$, la definición habitual de "$A$ es denso en $X$" es que $\overline{A} = X$. Esto es lo mismo que decir que para cualquier $y \in X$, existe una secuencia $x_n \in A$ tal que $x_n \to a$.