Evalúa un límite usando solo la definición de límites

Question

Tengo la siguiente expresión que necesito para demostrar el uso de sólo el $|a_n - L| < \epsilon$ cosa
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n + 1 \over n} = 1$$
Normalmente yo podría hacerlo pero mi problema es que no puedo perder el root así que estoy atascado en esta expresión:
$$\frac{1 - \epsilon}{ \epsilon} < n\sqrt{n+1 \over n}$$
Por lo que no puedo llegar a algo como n < ...
Estoy seguro de que hay una mejor manera de acercarse a él,

Cualquier ayuda apreciada gracias

P. S
Pensé en decir que puedo hacer plaza en la primera ecuación, pero que realmente puedo hacer? e incluso si es así creo que no me permite hacerlo en esta pregunta

Answer 1

ps

Toma ahora cualquier $$\left|\;\sqrt\frac{n+1}n-1\;\right|=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt n}=\frac1{\sqrt n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}$. Queremos verificar por qué$\;\epsilon>0\;$ tenemos

ps

Pero ahora podemos estimar :

ps

Entonces, es suficiente saber cuándo

ps

y hemos terminado.

Answer 2

Suponiendo$n, \epsilon > 0$, $$ \begin{align*} \left|\sqrt{\frac{n+1}n}-1\right| &< \epsilon\\ \left|\sqrt{1+\frac1n}-1\right| &< \epsilon\\ \sqrt{1+\frac1n}-1 &< \epsilon\\ \sqrt{1+\frac1n} &< 1 + \epsilon\\ 1+\frac1n &< (1+\epsilon)^2\\ \frac1n &< (1+\epsilon)^2-1\\ n &> \frac1{(1+\epsilon)^2-1}\\ n &> \frac1{2\epsilon + \epsilon^2}\\ \end {align *} $$

Answer 3

Sugerencia Demuestre que$\forall \varepsilon > 0\exists N \forall n>N: \sqrt{\frac{n+1}{n}} > 1 - \varepsilon$ y$\sqrt{\frac{n+1}{n}} < 1 + \varepsilon$.