¿Hay alguna función$f(z)$ tal que$f(z)^i = z$?

Question

Básicamente, ¿hay una fórmula para$\sqrt[i]{z}$.

Estaba pensando en números complejos y tratando de encontrar fórmulas como$log_i(x)$ y$x^i$. Entonces pensé en esto:

ps

Entonces comencé a intentar. Sabemos que$$\sqrt[i]{z} = f(z)$, de la fórmula de Euler. Luego intenté revertirlo:

$x^i = \cos(\ln(x))+i\sin(\ln(x))$ $$$\ln(x) \to e^x$ $$$\cos(x) \to \arccos(x)$ $

Pero, obviamente, le dará la respuesta incorrecta para$$...e^{\arccos(x)}$.

Tampoco estoy seguro si$i\sin(\ln x)$ incluso está definido para valores> 1.

Answer 1

Es una función de múltiples valores (ver aquí una explicación de los cortes de ramas). Al especificar una rama y tomar un subconjunto apropiado de$\mathbb{C}$, puede definirlo en ese subconjunto.

Para ver cómo definirlo, observe que$\frac{1}{i}=-i$ y así$z^{\frac{1}{i}}=z^{-i}=\frac{1}{z^i}$ y vea si puede derivarlo de allí a través de la fórmula de Euler.

Answer 2

Insinuación:

ps

Y luego aplica la fórmula de Euler.

Answer 3

Tenga en cuenta que $1/i=-i$. Entonces, de hecho, podemos definir $$ f (z) = z ^ {- i} $$. Sin embargo, tenga en cuenta que$z^w$ es una función multivaluada para cualquier número complejo no real$w$.