$\mathbb Q/\mathbb Z$ es un grupo infinito

Question

Estoy tratando de demostrar que$\mathbb Q/\mathbb Z$ es un grupo abelian infinito, la parte más fácil es demostrar que este conjunto es un grupo abeliano, estoy tratando de demostrar que este grupo es infinito sin éxito.

Este conjunto se define como clases de equivalencias de$\mathbb Q$, donde$x\sim y$ iff$x-y\in \mathbb Z$.

Necesito ayuda aquí.

muchas gracias

Answer 1

Sugerencia: demuestre que si$x,y\in[0,1)\cap\Bbb Q$, luego$x\sim y$ si y solo si$x=y$.

Answer 2

Mire$[1/n]$ en esta clase de equivalencia para$n\ge 2$. Todos son distintos mod$\mathbb{Z}$ en$\mathbb{Q}$.

Answer 3

Un poco más de fondo:$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es un grupo abelian divisible no trivial. El único grupo abeliano divisible finito es el grupo trivial (de lo contrario, no se puede dividir por orden de grupo por Lagrange).

Answer 4

Esto suena como una pregunta donde hay muchas maneras de resolverlo. El más rápido que se me ocurrió:

El conteo de los números primos: $p_1, p_2, p_3,\ldots$. Ahora las clases de equivalencia de a$\frac{1}{p_i}$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Para $i\neq j$ tenemos que $\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_j}=\frac{p_j-p_i}{p_ip_j}$. Si esto fuera un número entero, decir $n$, veríamos que $p_j-p_i = np_ip_j$, o, equivalentemente,$p_j=p_i(1+np_j)$. Esto es algo imposible y por lo que la diferencia no es elemento de a $\mathbb{Z}$. Esto demuestra que todas las clases de equivalencia de a $\frac{1}{p_i}$ son diferentes. Por lo tanto, debe ser infinitamente muchos elementos en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.

Answer 5

Otra pista: demostrar que para

ps