Cómo encontrar el límite de una función que involucra dos variables.

Question

¿Cómo puedo encontrar el límite de la función$\frac{x^2-4y^2}{x+2y}$ como$(x,y) \to (2,-1)$. Hasta ahora he considerado que las líneas se aproximan al punto desde diferentes direcciones, como$x=-2y$, pero cada vez que lo sustituyo en la función obtengo$0/0$. ¿Esto significa que el límite no existe? Muchas gracias por su ayuda

Answer 1

Sugerencia $$x^2-4y^2 = (x-2y)(x+2y)$ $

Answer 2

La razón más importante para la existencia del concepto de "límite" es tratar con límites en los que tanto el numerador como el denominador se acercan al$0$ y el límite existe. Si los límites de este tipo no existieran, entonces las derivadas no existirían, porque las derivadas son límites de expresiones en las que el numerador y el denominador se aproximan a$0$. $$ \begin{align} \text{If } f(x) & = x^3 \\ \text{then } f'(x) & = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^3 -x^3} h = 3x^2 \\[10pt] & \text{ This } \uparrow \text{ is a limit in which the numerator and denominator both approach 0.} \\ & \text{This limit does exist. It is } 3x^2. \end {align} $$