Evaluación de límites (método conjugado) -¿Manipulación algebraica adicional?

Question

$$\lim_\limits{x\to 2} \frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}$$

He intentado evaluar el límite anterior multiplicando tanto el conjugado del numerador como el denominador sin conseguir salir de la forma indeterminada.

es decir $$\frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}*\frac{\sqrt{6-x}+2}{\sqrt{6-x}+2}$$ y a la inversa $$\frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}*\frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{3-x}+1}$$

A mis sospechas de cuál -numerador o denominador- conjugar para multiplicar elegí $$\frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{3-x}+1}$$

Esto dio lugar a $$\frac{(\sqrt{6-x}-2)(\sqrt{3-x}-1)}{3-x-1}$$

¿Es indeterminado? ¿Cuál es la razón de multiplicar por un conjugado específico en una fracción (denominador o numerador) y la razón de que el conjugado sea a) denominador b) numerador c) o ambos?

¿Estoy simplemente practicando álgebra incorrecta al racionalizar la expresión a:

$$\frac{(6-x)(3-x)-2\sqrt{3}+2x+2}{x-2}$$

¿O estoy fallando al profundizar y manipular la expresión de la forma indeterminada?

Answer 1

Por su idea $$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(\sqrt{3-x}+1)(6-x-4)}{(\sqrt{6-x}+2)(3-x-1)}$$ $$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(\sqrt{3-x}+1)(2-x)}{(\sqrt{6-x}+2)(2-x)}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{6-x}+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Answer 2

El problema con $\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}$ es que, cuando dejas $x=2$ , se obtiene $\dfrac 00$ . Así que tenemos que asumir que $x \ne 2$ . Esto no es necesariamente un problema porque $\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)$ no le importa lo que le pase a $f(x)$ en $x=x_0$ .

Obsérvese a continuación que un factor de $(2-x)$ aparece tanto en el numerador como en el denominador y se anula. Esto nos deja con la expresión racional $\dfrac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{6-x}+2}$ que es igual a $\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}$ para todos todos $x \ne 2$ y resulta que es continua y está definida en $x=2$ .

Así que la función $f(x)=\dfrac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}$ tiene una discontinuidad extraíble en $x=2$ . Podemos eliminar esa discontinuidad definiendo $\left. f(2)=\dfrac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{6-x}+2}\right|_{x=2}=\dfrac 12$

Para todos $x\ne 2$ podemos decir

\begin{align} \frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1} &= \left(\frac{\sqrt{6-x}-2}{1} \cdot \frac{\sqrt{6-x}+2}{\sqrt{6-x}+2}\right) \cdot \left(\frac{1}{{\sqrt{3-x}-1}} \cdot \frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{3-x}+1}\right) \\ &= \frac{6-x-4}{\sqrt{6-x}+2} \cdot \frac{\sqrt{3-x}+1}{3-x-1} \\ &= \frac{2-x}{\sqrt{6-x}+2} \cdot \frac{\sqrt{3-x}+1}{2-x} \\ &= \frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{6-x}+2} \\ \end{align}

Así que $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1} =\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3-x}+1}{\sqrt{6-x}+2} = \frac 24 = \frac 12$

Answer 3

De otra manera:

Dejemos que $\sqrt{6-x}-2=h,\sqrt{3-x}-1=k\implies h\to0,k\to0$

y $$6-4-4h-h^2=x=3-1-2k-k^2\implies-h(4+h)=-k(k+2)\implies\dfrac hk=\dfrac{k+2}{h+4}$$

$$\lim_\limits{x\to 2} \frac{\sqrt{6-x}-2}{\sqrt{3-x}-1}=\lim_{h\to0,k\to0}\dfrac hk=\lim_{h\to0,k\to0}\dfrac{k+2}{k+4}=?$$